Question

Докажите, что для каждого целого числа a существует целое число b такое, что ax ^ 2- (a ^ 2 + b) x + b = 0 имеет два кореей целых числа

Answer 1

Для a=0 спорно, потому что уравнение превращается в -bx+b=0, у него либо один корень x=1 при b≠0 либо все числа при b=0. С другой стороны, если все числа, то два уж точно найдутся.

Вариант b=0 отлично подходит и для  a≠0. В самом деле, при b=0

$ax^2-a^2x = 0\\ax(x-a) = 0$

Два различных корня этого уравнения x=0  и x=a, естественно, целые.

Ответ: такое b существует и равно 0

Answer 2

Для данного уравнения квадратного полинома ax^2 - (a^2 + b)x + b = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта для определения его корней. Дискриминант вычисляется как D = (a^2 + b)^2 - 4ab.

Для того чтобы уравнение имело два целых корня, дискриминант должен быть полным квадратом целого числа, то есть D = k^2 для некоторого целого числа k.

Раскроем формулу дискриминанта и перепишем ее:

D = (a^2 + b)^2 - 4ab = a^4 + 2a^2b + b^2 - 4ab = a^4 - 2a^2b + b^2 + 2a^2b - 4ab = a^2(a^2 - 2b) + b^2 - 2ab

Теперь мы можем заметить, что первое слагаемое a^2(a^2 - 2b) всегда делится на a^2, а второе слагаемое b^2 - 2ab делится на b.

Таким образом, чтобы дискриминант D был полным квадратом целого числа, оба слагаемых должны делиться на a и b соответственно.

Мы можем выбрать b = a^2, чтобы обеспечить деление первого слагаемого на a^2. Затем мы можем выбрать a = k^2, чтобы обеспечить деление второго слагаемого на b = a^2 = (k^2)^2 = k^4.

Таким образом, если мы выберем a = k^2 и b = a^2 = (k^2)^2 = k^4, то уравнение ax^2 - (a^2 + b)x + b = 0 будет иметь два корня, которые являются целыми числами.