Question

На окружности отметили несколько точек. Через каждые две точки провели прямые, всего получилось 15 прямых. Рассматриваются все возможные пары точек. Сколько точек было отмечено?​

Answer 1

Пусть на окружности отмечено х точек . Число прямых является числом сочетаний из х по 2 , то есть :

$C_{x}^{2}=\frac{x!}{2!*(x-2)!}=15\\\\\frac{x(x-1)*(x-2)!}{1*2*(x-2)!}=15\\\\ \frac{x(x-1)}{2}=15\\\\x(x-1)=30\\\\x^{2}-x-30=0\\\\x_{1}=6\\\\x_{2} =-5$

Ответ : отмечено 6 точек

Answer 2

Предположим, что на окружности отмечено $n$ точек. Чтобы провести прямую через каждые две точки, мы должны выбрать 2 точки из $n$ по формуле сочетаний $C(n,2)$.

Формула для сочетаний имеет вид: $C(n,2) = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

Известно, что $C(n,2) = 15$.

Подставим значение $C(n,2)$ в формулу: $15 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

Упростим это уравнение: $15 = \frac{n \cdot (n-1)}{2}$

Раскроем знаменатель: $15 = \frac{n^2 - n}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $30 = n^2 - n$

Перенесем все члены в одну сторону: $n^2 - n - 30 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение, используя факторизацию или формулу корней. Факторизация данного уравнения имеет вид: $(n - 6)(n + 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $n$: $n_1 = 6 \quad \text{и} \quad n_2 = -5$

Поскольку количество точек не может быть отрицательным, отбрасываем $n_2 = -5$ и получаем $n = 6$.

Таким образом, на окружности было отмечено 6 точек.