Question

Сколько корней уравнения sin4x=cos10^o(градусов) находятся в промежутке [0; pi]? (должно выйти 4)

Answer 1

$\sin4x=\cos10^\circ$

Воспользуемся формулой приведения:

$\sin4x=\sin(90^\circ- 10^\circ)$

$\sin4x=\sin80^\circ$

$\left[\begin{array}{l} 4x=80^\circ+360^\circ n\\ 4x=180^\circ-80^\circ+360^\circ n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} 4x=80^\circ+360^\circ n\\ 4x=100^\circ+360^\circ n\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=20^\circ+90^\circ n\\ x=25^\circ+90^\circ n\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Зная, что $\pi=180^\circ$ выполним отбор корней.

Для первой серии:

$0\leq 20^\circ+90^\circ n\leq 180^\circ$

$- 20^\circ\leq90^\circ n\leq 180^\circ- 20^\circ$

$- 20^\circ\leq90^\circ n\leq 160^\circ$

$- \dfrac{20}{90} \leq n\leq\dfrac{ 160}{ 90}$

$n=0:\ x_1=20^\circ+90^\circ\cdot0=\boxed{20^\circ}$

$n=1:\ x_2=20^\circ+90^\circ\cdot1=\boxed{110^\circ}$

Для второй серии:

$0\leq 25^\circ+90^\circ n\leq 180^\circ$

$- 25^\circ\leq90^\circ n\leq 180^\circ- 25^\circ$

$- 25^\circ\leq90^\circ n\leq 155^\circ$

$- \dfrac{25}{90} \leq n\leq\dfrac{ 155}{ 90}$

$n=0:\ x_3=25^\circ+90^\circ\cdot0=\boxed{25^\circ}$

$n=1:\ x_4=25^\circ+90^\circ\cdot1=\boxed{115^\circ}$

Ответ: 4 корня

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем найти его корни на интервале [0, π]. Уравнение имеет вид:

sin(4x) = cos(10°)

Для начала, давайте найдем значение cos(10°):

cos(10°) ≈ 0.98481

Теперь мы хотим найти значения x, которые удовлетворяют уравнению sin(4x) = 0.98481 на интервале [0, π]. Это можно сделать, найдя обратную функцию синуса:

4x = arcsin(0.98481)

Так как x должен находиться в интервале [0, π], мы будем искать только те значения arcsin(0.98481), которые попадают в этот интервал. Это можно сделать, используя график функции синуса или калькулятор.

arcsin(0.98481) ≈ 1.39 радиан (около 79.55°)

На интервале [0, π] есть два таких угла: один между 0 и 1.39 радиан (0° и 79.55°), а другой между π - 1.39 радиан и π (100.45° и 180°).

Теперь мы должны учесть, что у нас есть 4x, а не просто x. Это означает, что мы можем взять все четные кратные найденных углов, чтобы получить 4 корня на интервале [0, π]:

1. 4x ≈ 1.39 радиан (79.55°)

2. 4x ≈ π - 1.39 радиан (100.45°)

3. 4x ≈ π + 1.39 радиан (259.55°)

4. 4x ≈ 2π - 1.39 радиан (280.45°)

Таким образом, уравнение sin(4x) = cos(10°) имеет 4 корня на интервале [0, π].