Question

Если для действительных положительных чисел а, b, c выполняются равенства ab=14  и bc=6, то найдите наименьшее значение выражения a+2b+3c.​

Answer 1

$b = 14/a\\c = 6/b = 3a/7\\a+2b+3c = a+28/a + 9a/7$

Возьмем производную от последнего выражения по a и приравняем к нулю

$16/7 - 28/a^2 = 0\\a^2 = 12.25\\a = 3.5\\b = 14/a = 4\\c = 6/b = 1.5\\a+2b+3c = 3.5+8+4.5 = 16$

Answer 2

Дано:

1. $ab = 14$
2. $bc = 6$

Нам нужно найти наименьшее значение выражения $a + 2b + 3c$.

Мы можем использовать данную информацию для выразления одной из переменных через другие и подставить это выражение в данное выражение. Давайте рассмотрим выражение $ab = 14$:

$$b = \frac{14}{a}$$

Теперь мы подставим это в выражение $bc = 6$:

$$\frac{14}{a} \cdot c = 6$$

Отсюда:

$$c = \frac{6a}{14} = \frac{3a}{7}$$

Теперь подставим значения $b$ и $c$ в исходное выражение $a + 2b + 3c$:

$$a + 2 \cdot \frac{14}{a} + 3 \cdot \frac{3a}{7}$$

Упростим:

$$a + \frac{28}{a} + \frac{9a}{7}$$

Общий знаменатель для дробей в выражении - это $7a$:

$$\frac{7a^2}{7a} + \frac{28}{7a} + \frac{9a}{7}$$

$$\frac{7a^2 + 28 + 9a^2}{7a}$$

$$\frac{16a^2 + 28}{7a}$$

Теперь мы можем найти производную данного выражения по $a$, чтобы найти точку минимума:

$$\frac{d}{da} \left(\frac{16a^2 + 28}{7a}\right) = \frac{224a - 112a^2}{49a^2}$$

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$224a - 112a^2 = 0$$

$$112a(2 - a) = 0$$

Отсюда получаем две возможные точки: $a = 0$ или $a = 2$. Так как в задаче указано, что $a$ - положительное число, то выбираем $a = 2$.

Теперь подставим $a = 2$ в исходное выражение:

$$a + 2 \cdot \frac{14}{a} + 3 \cdot \frac{3a}{7} = 2 + 2 \cdot \frac{14}{2} + 3 \cdot \frac{3 \cdot 2}{7} = 2 + 14 + \frac{18}{7} = \frac{96}{7}$$

Итак, наименьшее значение выражения $a + 2b + 3c$ при заданных условиях равно $\frac{96}{7}$.