Question

В угол, величиной 90 градусов вписана окружность радиуса 5. Окружность радиуса г > 5 касается сторон угла и первой окружности. Докажите единственность r и найдите его значение или найдите все возможные значения r, если число r не единственно​

Answer 1

Заметим, что множество точек, являющихся центрами окружностей, вписанных в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Касание двух окружностей может быть внутренним, а может быть внешним. Случай внутреннего касания, очевидно, невозможен. Остается лишь случай внешнего (единственность).

Рассмотрим бесконечную серию окружностей вписанных в этот угол. Понятно, что радиусы окружностей убывают как геометрическая прогрессия (здесь наблюдается преобразование подобия — гомотетия). Пусть радиус меньшей окружности (с радиусом 5) равен $r_{0}$. Тогда отрезок, начало которого в вершине прямого угла, а конец в центре большой окружности, можно посчитать через сумму бесконечной геометрической прогрессии: $s=r+\frac{2r_{0}}{1-q}$, где $q$ — отношение радиусов соседних окружностей. С другой стороны, по теореме Пифагора: $s^2=r^2+r^2=2r^2 \Rightarrow s=r\sqrt{2}$. Имеем: $r+\frac{2r_{0}}{1-q}=r\sqrt{2} \Rightarrow \frac{2r_{0}}{r(\sqrt{2}-1)}=1-q$, причем $r_{0}=rq \Rightarrow q=\frac{r_{0}}{r}$, откуда $\frac{2r_{0}}{r(\sqrt{2}-1)}=\frac{r-r_{0}}{r} \Rightarrow r=r_{0}+ \frac{2r_{0}}{\sqrt{2}-1}=r_{0}(\sqrt{2}+1)^2=5(3+2\sqrt{2})$

Answer 2

Предположим, что существует окружность радиуса r, которая касается сторон угла и первой окружности вписанной в угол, и что r > 5.

Поскольку окружность радиуса 5 полностью вписана в угол, её центр будет лежать на биссектрисе угла, ведущей через вершину угла. Обозначим центр этой окружности как O1.

Также, поскольку окружность радиуса r касается сторон угла и первой окружности, её центр должен лежать на биссектрисе угла и на перпендикулярах, опущенных из точек касания первой окружности с каждой из сторон угла. Обозначим центр этой окружности как O2.

Так как угол вписан в окружность радиуса 5, его вершина (A) и центр первой окружности (O1) будут лежать на одной прямой. Аналогично, вершина угла (A) и центр второй окружности (O2) будут лежать на одной прямой.

Теперь рассмотрим треугольник AO1O2. Этот треугольник будет прямоугольным, так как O1 и O2 лежат на биссектрисе угла, а AO1 и AO2 - радиусы окружностей, проведенные к точке касания.

Также, поскольку O1 и O2 лежат на перпендикулярах, опущенных из точек касания первой окружности со сторонами угла, треугольник AO1O2 будет подобным треугольнику, образованному этими перпендикулярами и биссектрисой угла.

Из подобия треугольников AO1O2 и O1BR (где R - точка касания первой окружности со стороной угла) можно записать следующее отношение:

AO1 / O1B = AO2 / BR

Так как AO1 = 5 (радиус первой окружности), O1B = 5 (половина основания угла), а AO2 = r (радиус второй окружности), мы получаем:

5 / 5 = r / BR

Отсюда следует, что r = BR.

Таким образом, радиус второй окружности r равен длине отрезка BR, который является расстоянием от точки касания первой окружности со стороной угла до вершины угла.

Так как угол величиной