Question

Сумма десятичных логаритмов девяти последовательно членов геометрической прогрессии составляет 8. Чему равно произведение крайних из рассматриваемых членов? ДАЮ 20 БАЛЛОВ

Answer 1

Пусть первый член равен $A$, тогда второй $Aq$ и так далее до 9-го, который равен $Aq^8$

Известно что

$\log A+\log Aq + ... +\log Aq^8 = 8\\9\log A + (1+2+3+...+8)\log q = 8\\9\log A + 36\log q = 8\\\\\log A + 4\log q = 8/9$

Произведение крайних членов

$P = A^2q^8\\\log P = 2\log A + 8\log q = 2(\log A+ 4\log q) = 16/9\\P = 10^{16/9}$

Answer 2

$b_n$ - n-ый член прогрессии. Тогда:

$\sum\limits^8_{j=0} lg(b_j) = lg(\Pi \limits^8_{j=0} b_j) = lg(b_0^9*q^{\sum\limits^8_{j=1}j}) = lg(b_0^9*q^{36}) = 9lg(b_0*q^4) = 8 => lg(b_5) = \frac{8}{9} => lg(b_5^2) = \frac{16}{9} => b_5^2 = 10^{\frac{16}{9}} = b_0^2 * q^{8} = b_0 * b_0*q^{8} = b_0 * b_8$

Ответ: $10^{\frac{16}{9} }$

Answer 3

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a" и знаменатель (отношение между последовательными членами) как "r". Тогда последовательные члены будут иметь следующие значения:

1. a
2. a * r
3. a * r^2
4. a * r^3 ...
5. a * r^8

Мы знаем, что сумма десятичных логаритмов этих членов равна 8:

log10(a) + log10(a * r) + log10(a * r^2) + ... + log10(a * r^8) = 8

Свойство логарифмов гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов:

log10(a) + log10(a) + 2 * log10(r) + ... + 8 * log10(r) = 8

Поскольку у нас есть девять членов, можно сократить сумму:

2 * (log10(a) + log10(r)) + 2 * (log10(a) + log10(r)) + ... + 2 * (log10(a) + log10(r)) = 8

Или просто:

18 * (log10(a) + log10(r)) = 8

Теперь делим обе стороны на 18:

log10(a) + log10(r) = 8 / 18

log10(a) + log10(r) = 4 / 9

Мы знаем, что логарифмы можно сложить, поэтому:

log10(a * r) = 4 / 9

Теперь найдем значение произведения крайних членов:

a * r^8 = 10^(4 / 9)

Таким образом, произведение крайних членов равно 10^(4 / 9), что приближенно равно 2.157.

Итак, произведение крайних членов геометрической прогрессии составляет примерно 2.157.