Question

Найдите сумму всех действительных корней уравнения (x^2 +1/x^2) − 4 (x +1/x) + 5 = 0.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$( {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } ) - 4(x + \frac{1}{x} ) + 5 = 0 \\ {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } - 4x - \frac{4}{x} + 5 = 0 \\ {x}^{4} + 1 - 4 {x}^{3} - 4x + 5 {x}^{2} = 0 \\ ( {x}^{2} - 3x + 1)( {x}^{2} - x + 1) = 0 \\ {x}^{2} - 3x + 1 = 0 \\ x1 = \frac{3 + \sqrt{5} }{2} \\ x2 = \frac{3 \sqrt{5} }{2} \\ {x}^{2} - x + 1 = 0$

второе уравнение не имеет решение

$\frac{3 + \sqrt{5} }{2} + \frac{3 - \sqrt{5} }{2} = \frac{3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} }{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Answer 2

Для начала, давайте введем замену: пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда наше уравнение можно переписать как:

$t^2 - 4t + 5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$ и $c = 5$.

Дискриминант $D$ квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В данном случае:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у нас есть два комплексных корня $t$:

$t = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad t = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Подставляем значения $a$, $b$, $c$ и $D$:

$t = \frac{4 + \sqrt{-4}}{2} \quad \text{и} \quad t = \frac{4 - \sqrt{-4}}{2}$

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными числами:

$t = 2 + i \quad \text{и} \quad t = 2 - i$

Теперь нам нужно найти значения $x$, удовлетворяющие уравнению $x + \frac{1}{x} = 2 + i$ и $x + \frac{1}{x} = 2 - i$.

Для первого случая: $x + \frac{1}{x} = 2 + i$ $x^2 + 1 = (2 + i)x$ $x^2 - (2 + i)x + 1 = 0$

Для второго случая: $x + \frac{1}{x} = 2 - i$ $x^2 + 1 = (2 - i)x$ $x^2 - (2 - i)x + 1 = 0$

Это квадратные уравнения, которые могут быть решены с использованием стандартной квадратной формулы. Корни данных уравнений будут комплексными числами.

Следовательно, у уравнения $x^2 + \frac{1}{x^2} - 4\left(x + \frac{1}{x}\right) + 5 = 0$ нет действительных корней.