Question

В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга составляет 0,375 его высоты, а периметр треугольника равен 16.Чему равна меньшая сторона треугольника? Даю 50 баллов

Answer 1

Ответ и объяснение во вложении

Answer 2

Ответ:

5 см

Пошаговое объяснение:

Радиус вписанного круга OH=r=0,375h=$\frac{3}{8}$ h.

S(ΔABC)=$\frac{1}{2}$*AC*BH  и  S(ΔABC)=$\frac{1}{2}$*P*r

$\frac{1}{2}$*AC*BH =$\frac{1}{2}$*P*r , АС=2АН , т.к центр вписанного круга лежит в точке пересечения биссектрис, а для равнобедренного треугольника биссектриса ВН является и медианой.

2*AH*h=16*$\frac{3}{8}$*h

AH=3 ⇒AC=6 cм.

АВ=ВС=$\frac{16-6}{2}$=5 см

Меньшими сторонами будут боковые стороны равные 5 см.

Answer 3

Давайте обозначим меньшую сторону равнобедренного треугольника как "а", а большую сторону как "b". Так как треугольник равнобедренный, то его стороны "a", "a" и "b" образуют равнобедренный треугольник.

Известно, что радиус вписанного круга равен 0,375 его высоты. Пусть высота треугольника будет "h", тогда радиус вписанного круга будет равен 0,375 * "h".

Периметр треугольника равен сумме его сторон: Perimeter = "a" + "a" + "b" = 2 * "a" + "b" = 16.

Также у нас есть соотношение между радиусом вписанного круга и высотой треугольника: Радиус вписанного круга = 0,375 * "h".

Мы можем выразить высоту "h" через радиус: "h" = Радиус вписанного круга / 0,375.

Таким образом, мы можем записать периметр через радиус: 16 = 2 * "a" + "b" = 2 * "a" + "h" / 0,375.

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений относительно "a" и "b". Подставим значение "h" и упростим уравнение:

16 = 2 * "a" + ("h" / 0,375) 16 = 2 * "a" + (Радиус вписанного круга / 0,375) 16 = 2 * "a" + 0,375 * "h" 16 = 2 * "a" + 0,375 * (Радиус вписанного круга / 0,375) 16 = 2 * "a" + Радиус вписанного круга

Теперь мы знаем, что радиус вписанного круга равен 0,375 высоты, а также у нас есть уравнение для периметра:

16 = 2 * "a" + Радиус вписанного круга.

Подставим значение радиуса:

16 = 2 * "a" + 0,375 * "h" 16 = 2 * "a" + 0,375 * (Радиус вписанного круга / 0,375) 16 = 2 * "a" + Радиус вписанного круга

Теперь мы можем выразить "a":

2 * "a" = 16 - Радиус вписанного круга "a" = (16 - Радиус вписанного круга) / 2 "a" = (16 - 0,375 * высота) / 2

Итак, меньшая сторона треугольника равна:

"a" = (16 - 0,375 * высота) / 2.

Теперь нам нужно выразить высоту через "a" и "b", используя тот факт, что треугольник равнобедренный. Высоту можно найти, используя полупериметр "s" треугольника и радиус вписанного круга:

s = ("a" + "a" + "b") / 2 = (2 * "a" + "b") / 2 = "a" + "b" / 2

Так как треугольник равнобедренный, высота можно найти с использованием теоремы Пифагора: высота^2 = радиус^2 - (база/2)^2 высота^2 = (0,375 * высота)^2 - ("b" / 2)^2

Решим это уравнение относительно "b":

высота^2 - (0,375 * высота)^2 = ("b" / 2)^2 ("b" / 2)^2 = высота^2 - (0,375 * высота)^2 "b" / 2 = sqrt(высота^2 - (0,375 * высота)^2) "b" = 2 * sqrt(высота^2 - (0,375 * высота)^2)

Теперь у нас есть выражение для "b" через высоту. Мы также можем выразить периметр через "a" и "b":

Perimeter = 2 * "a" + "b" = 16.

Подставим выражения для "a" и "b":

2 * ((16 - 0,375 * высота) / 2) + 2 * sqrt(высота^2 - (0,375 * высота)^2) = 16.

Упростим уравнение:

16 - 0,375 * высота + 2 * sqrt(высота^2 - (0,375 * высота)^2) = 16.

2 * sqrt(высота^2 - (0,375 * высота)^2) = 0,375 * высота

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

4 * (высота^2 - (0,375 * высота)^2) = 0,140625 * высота^2

Раскроем скобки:

4 * высота^2 - 4 * 0,140625 * высота^2 = 0,140625 * высота^2

Упростим:

3,859375 * высота^2 = 0

Это означает, что высота равна нулю, что не имеет смысла в данной ситу