Question

Куб суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами относится к сумме кубов как 13:4 Найти знаменатель прогрессии

Answer 1

Пусть первый член прогрессии равен A, знаменатель q.

Тогда

$\displaystyle\\S = A/(1-q)\\S_3 = A^3/(1-q^3)\\S^3 = A^3/(1-q)^3\\\frac{S^3}{S_3} = \frac{1-q^3}{(1-q)^3} = \frac{13}{4}\\\frac{1+q+q^2}{1-2q+q^2} = \frac{13}{4}\\9q^2-30q+9=0\\3q^2-10q+3=0\\q = (5\pm4)/3\\q = 1/3$

Выбираем 1/3, потому что q<1

Answer 2

Пусть геометрическая прогрессия имеет первый член $a$ и знаменатель $q$, где $a > 0$ и $q > 0$. Тогда сумма членов данной прогрессии будет:

$S = \frac{a}{1 - q}.$

Сумма кубов членов этой прогрессии:

$S_{\text{куб}} = a^3 + (aq)^3 + (aq^2)^3 + \ldots.$

Задача утверждает, что отношение куба суммы членов прогрессии к сумме кубов членов прогрессии составляет $13:4$, то есть:

$\frac{S^3}{S_{\text{куб}}} = \frac{13}{4}.$

Подставим выражения для $S$ и $S_{\text{куб}}$:

$\frac{\left(\frac{a}{1 - q}\right)^3}{a^3 + (aq)^3 + (aq^2)^3 + \ldots} = \frac{13}{4}.$

Упростим выражение в числителе:

$\frac{a^3}{(1 - q)^3} = \frac{13}{4} \cdot (a^3 + a^3q^3 + a^3q^6 + \ldots).$

Теперь можем сократить $a^3$ с обеих сторон:

$\frac{1}{(1 - q)^3} = \frac{13}{4} \cdot (1 + q^3 + q^6 + \ldots).$

Подставим $q = \frac{1}{r}$, где $r$ — знаменатель искомой прогрессии. Получим:

$\frac{1}{\left(1 - \frac{1}{r}\right)^3} = \frac{13}{4} \cdot \left(1 + \frac{1}{r^3} + \frac{1}{r^6} + \ldots\right).$

Возводим дробь в знаменателе в третью степень и упростим:

$\frac{r^3}{(r - 1)^3} = \frac{13}{4} \cdot \left(1 + \frac{1}{r^3} + \frac{1}{r^6} + \ldots\right).$

Далее можно выразить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии для правой стороны уравнения:

$\frac{r^3}{(r - 1)^3} = \frac{13}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{r^3}}.$

Сократим $r^3$ с обеих сторон:

$\frac{1}{(r - 1)^3} = \frac{13}{4} \cdot \frac{1}{r^3 - 1}.$