Question

Маша и Коля играют в игру. Сначала Коля называет некоторое простое число p. После этого Маша записывает на доске натуральное число n. Тогда Коля пишет для этого числа справа одну или несколько цифр 3. Он выигрывает, если полученное таким образом число делится на p. В противном случае - побеждает Маша. Из них выиграет, если оба стремятся победить?

Answer 1

Ответ: Маша

Пошаговое объяснение:

Пусть Маша записала число n

Тогда, после того как Коля cправа приписал к нему k-троек, данное число принимает вид :

N(k) = n*10^k +(10^k -1)/3  

Например: 33333= (100000 -1)/3 = 99999/3 = 33333 =(10^5 -1)/3

N(k) = (3*n*10^k +10^k -1)/3 =  (10^k*(3n+1) -1 )/3

Пусть Коля называет простое число p > 3, тогда Маша действует следующим образом:

Она находит остаток от деления числа p на 3 .

Поскольку число p простое и больше 3 , то оно при делении на 3 может давать либо остаток 1 , либо остаток 2.

Если у Маши получился остаток 1 :

p=3m+1, где    m-натуральное число.

То она в качестве n берет число :

n=m = (p-1)/3

Тогда :   N(k) = (10^k*(3n+1) -1 )/3  = (10^k*( 3*(p-1)/3 +1)  -1) /3 =

= ( 10^k*( p-1+1) -1)/3 = (10^k*p -1)/3

Очевидно , что число  10^k*p  -1 не делится на p при любом натуральном k , а поскольку числа 3 и p взаимнопростые, то  

N(k) = (10^k*p -1)/3  - не делится на p при любом  натуральном k.

Если у Маши получился остаток 2 :

p=3m+2, где m- натуральное число.

2p = 3*2*m + 4 = 3*2*m + 3+ 1  = 3*(2m+1) +1 = 3*r + 1, где r-натуральное число.

То Маша в качестве n берет число :

n=r= (2p -1)/3

Тогда аналогично получаем :

N(k) = (10^k*2*p -1)/3

Таким образом, по тем же соображениям  N(k)  не делится на  p при любом k.

Если же Коля решил взять p = 3, то он дурачок, ибо тогда Маше достаточно взять в качестве N любое число, что не делится на 3.

То есть полученное число состоит из суммы делящегося и неделящегося на 3 числа, то есть не делится на 3.

Ну а если он возьмет p=2, то это уж совсем непоправимый случай, ибо он сам обрекает себя на поражение еще без участия Маши, ибо приписывая тройки он делает число нечетным.

Как видим, при правильной игре Маша всегда побеждает.

Answer 2

Из описания игры следует, что Маша и Коля ходят поочередно, и цель каждого из них - обеспечить свою победу. Давайте рассмотрим стратегии для каждого игрока.

1. Коля начинает игру, выбирая простое число p.
2. Маша выбирает натуральное число n.

Теперь у нас есть две возможные стратегии:

Стратегия Коли:

• Если число n уже делится на p, то Коля может просто добавить одну или несколько цифр 3 справа от числа n (например, умножив n на степень 10 с нужным количеством троек). В этом случае полученное число будет делиться на p, и Коля выиграет.
• Если число n не делится на p, то Коля может добавить такое количество троек, чтобы новое число делилось на p. Если это возможно, он это сделает.

Стратегия Маши:

• Если число n уже делится на p, Маша может добавить любые цифры справа, так как она не хочет, чтобы полученное число было кратно p.
• Если число n не делится на p, Маша может добавить тройки справа (как и Коля), чтобы увеличить число до такого значения, которое бы не делилось на p.

Оба игрока играют оптимально, стремясь к своей победе. Но учитывая, что Коля начинает игру, он имеет преимущество, так как он может выбирать начальное простое число p и адаптировать свою стратегию в зависимости от числа n, чтобы обеспечить победу в большинстве случаев.

Итак, из описания игры можно сделать вывод, что Коля имеет стратегическое преимущество, и при оптимальной игре он выиграет большинство игр.