Question

Два простых числа называются близнецами, если они являются соседями в ряду всех нечётных чисел. Доказать, что всякое число, находящееся между близнецами и большее 4, делится на 6. Указание: найди примеры чисел близнецов и проверь утверждение. сделай обозначения и докажи общее высказывание.

Answer 1

Примеры:

5 и 7, между ними 6

17 и 19, между ними 18

-------

Общий случай:

Между двумя простыми числами, большими 4-х, всегда лежит четное число

Из трех последовательных чисел одно и только одно делится на три. Так как простые числа-близнецы на 3 не делятся, мы делаем вывод, что на 3 делится число между ними.

А число, которое делится на 2 и на 3, делится на 6

Answer 2

Обозначим два близнеца как $p$ и $p+2$, где $p$ - это простое число, и $p > 2$, так как близнецы больше 4.

Рассмотрим число $n$, которое находится между $p$ и $p+2$, то есть $p < n < p+2$.

Так как $p$ и $p+2$ - простые числа, они не имеют общих делителей, кроме 1. Это означает, что наименьший общий кратный (НОК) чисел $p$ и $p+2$ равен $p \cdot (p+2)$.

Давайте рассмотрим это выражение:

$$p \cdot (p+2) = p^2 + 2p$$

Мы знаем, что $p > 2$, поэтому $p^2 > 4$ и $2p > 4$, что означает, что $p^2 + 2p > 8$.

Теперь вернемся к числу $n$, которое находится между $p$ и $p+2$. Поскольку $n > p$ и $n < p+2$, то

$$p < n < p+2$$

Из вышеуказанного можно заключить, что $n \neq p$ и $n \neq p+2$, а значит, $n$ не может быть равным ни $p$, ни $p+2$.

Следовательно, $n$ не может делиться ни на $p$, ни на $p+2$.

Поскольку мы установили, что НОК $(p, p+2) = p \cdot (p+2)$ и $n$ не делится ни на $p$, ни на $p+2$, то из свойств НОК следует, что $n$ должно делиться на НОК $(p, p+2)$, то есть на $p \cdot (p+2)$.

Таким образом, мы доказали, что любое число $n$, находящееся между простыми числами близнецами $p$ и $p+2$, и большее 4, делится на $p \cdot (p+2)$.

Так как $p > 2$, то $p \cdot (p+2)$ - это произведение двух четных чисел, и следовательно, делится на 2.

И так как $p > 2$, то либо $p$ делится на 3, либо $p+2$ делится на 3 (поскольку в ряду всех нечетных чисел каждое третье число делится на 3).

Таким образом, $p \cdot (p+2)$ делится на 2 и на 3, а значит, оно делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что всякое число, находящееся между близнецами и большее 4, действительно делится на 6.