Question

Докажите, что если радиус и прямая, пересекающиеся в точке, лежащей на окружности, взаимно перпендикулярны, то прямая является касательной к окружности.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Перпендикуляр - кратчайшее расстояние. При этом из точки (центра окр.) на прямую можно опустить только один перпендикуляр.

Значит, остальные точки этой прямой лежат вне окружности (иначе получилось бы 2 точки на прямой на расстоянии радиуса от центра окр. - то есть 2 перпендикуляра, а это невозможно). Тогда это единственная точка пересечения окр. и прямой, то есть это касательная

Answer 2

Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке O и радиусом r. Пусть P - точка пересечения прямой и окружности, а AB - прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная радиусу OP.

1. Докажем, что треугольник OPA прямоугольный.

   Рассмотрим треугольник OPA. У нас есть два радиуса - OA и OP. Так как радиус исходной окружности перпендикулярен к прямой AB, то OP тоже перпендикулярен AB. Следовательно, треугольник OPA имеет два перпендикулярных катета, и поэтому он прямоугольный.

2. Так как треугольник OPA прямоугольный, то по теореме о проекциях в прямоугольном треугольнике (теорема Пифагора) верно следующее:

   OA^2 = OP^2 + PA^2

3. Так как точка P лежит на окружности, расстояние от O до P равно радиусу r:

   OP = r

   Теперь мы можем переписать теорему Пифагора:

   OA^2 = r^2 + PA^2

4. Однако, так как OPA прямоугольный, то PA - это длина отрезка AB, а OA - это радиус окружности r:

   AB^2 + r^2 = r^2 + PA^2

5. Получается:

   AB^2 = PA^2

6. Это означает, что длина отрезка AB равна длине отрезка PA.

Таким образом, мы доказали, что если прямая AB перпендикулярна радиусу OP и проходит через точку P на окружности, то длина отрезка AB равна длине отрезка PA. Это возможно только в случае, если прямая AB касается окружности в точке P.