Question

З точки М, що лежить поза колом з центром О, проведено до нього дотичні МВ і MЕ (В і Е точки дотику). Доведіть,що прямі ВЕ і ОМ перпендикулярні

Answer 1

Из точки М, лежащей вне круга с центром О, проведены к нему касательные МВ и МЕ (В и Е точки соприкосновения). Докажите, что прямые ВЕ и ОМ перпендикулярны.

Пошаговое объяснение:

ΔМВН=ΔМЕН  по двум сторонам и углу между ними :МН-общая ,МВ=МЕ как отрезки касательных, ∠ВМО=∠ ЕМО по свойству отрезков касательных .

В равных треугольниках соответственные элементы равны: НВ=НЕ.

ΔОВЕ равнобедренный ( ОВ=ОЕ=r) . Т.к. НВ=НЕ, то медиана в равнобедренном треугольнике является высотой ⇒ВЕ⊥МО.

Answer 2

Для доведення того, що пряма ВЕ перпендикулярна до прямої ОМ, ми можемо використовувати геометричні властивості кола та трикутника.

Спочатку розглянемо трикутник МВО. Оскільки ВМ є дотичною до кола, то вона перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику (точку В). Отже, кут МВО є прямим кутом.

Аналогічно, у трикутнику МЕО дотична МЕ також буде перпендикулярною до радіуса, проведеного в точку дотику (точку Е), тобто кут МЕО також є прямим кутом.

Отже, ми маємо два прямих кути (кут МВО та кут МЕО), і обидва вони дотикаються до одного й того ж радіуса, спрямованого до точки М. З цього випливає, що прямі ВЕ і ОМ є двома дотичними, відповідними до одного й того ж кута кола.

Відомо, що дотична до кола у точці дотику є перпендикулярною до радіуса, проведеного в точку дотику. Отже, ми можемо вважати, що пряма ВЕ перпендикулярна до радіуса ОМ.

З цього випливає, що прямі ВЕ і ОМ перпендикулярні одна до одної.