Question

Найдите все промежутки возрастания функции f(x) = sin(1/x)

Answer 1

f(x) =  sin(1/x)

f'(x) = -(1/х²)*cos(1/x)

f'(x) ≥ 0

-(1/х²)*cos(1/x) ≥ 0

-(1/х²)<0 при любом х≠0, поэтому cos(1/x) ≤0

π/2+2πn≤(1/x)≤3π/2+2πn; n∈Z

1/(3π/2+2πn)≤х≤1/(π/2+2πn); п∈z

Answer 2

Функция $f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ достаточно сложная, и её анализ может быть довольно сложным из-за особенностей в окрестности точки $x = 0$. Однако, можно выделить некоторые общие моменты.

Первое, что следует учесть, это то, что функция $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ не определена при $x = 0$, так как $\frac{1}{x}$ становится бесконечным. Следовательно, анализ возможен только на интервалах, где функция определена.

Второе, нужно учесть, что функция $\sin$ ограничена значениями между -1 и 1.

Теперь рассмотрим, как меняется функция $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ при изменении $x$. Поскольку аргумент синуса $\frac{1}{x}$ находится в знаменателе, при приближении $x$ к нулю (снизу или сверху) аргумент будет стремиться к бесконечности. Это означает, что на бесконечности функция будет колебаться между -1 и 1.

Итак, промежутки возрастания функции $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ будут присутствовать в тех интервалах, где функция колеблется в рамках какого-либо подынтервала между -1 и 1. Таких интервалов бесконечно много.

Один из примеров интервалов возрастания функции можно указать, например, в окрестности точки $x = 0.1$ до $x = 0.01$, где значение $\frac{1}{x}$ увеличивается, и аргумент синуса изменяется от 10 до 100. На этом интервале функция $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ будет возрастать.

Однако, чтобы более точно определить все промежутки возрастания функции, потребуется детальный анализ поведения функции в окрестности различных точек и использование методов дифференциального исчисления.