Question

Найдите дробь с наименьшими возможными натуральными числителем и знаменателем, которая с точностью не менее 0.01 равна квадратному корню из 5.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{29}{13}$

Пошаговое объяснение:

Так как искомая дробь отличается от √5 максимум на 0,01, то она лежит в промежутке

$\sqrt{5}-0{,}01\leq \dfrac{m}{n}\leq \sqrt{5}+0{,}01$

Оценим √5: $2{,}23$ — верно. Тогда

$2{,}22$

Последовательно переберём натуральные n. m — натуральное число, поэтому между числами 2,22n и 2,25n должно находиться хотя бы одно натуральное число.

n = 1 — 2,22 < m < 2,25 — не подходит;

n = 2 — 4,44 < m < 4,5 — не подходит;

n = 3 — 6,66 < m < 6,75 — не подходит;

n = 4 — 8,88 < m < 9 — не подходит;

n = 5 — 11,1 < m < 11,25 — не подходит;

n = 6 — 13,32 < m < 13,5 — не подходит;

n = 7 — 15,54 < m < 15,75 — не подходит;

n = 8 — 17,76 < m < 18 — не подходит;

n = 9 — 19,98 < m < 20,25 — существует m = 20.

Проверим дробь $\dfrac{20}{9}$:

$\sqrt{5}-\dfrac{1}{100}\leq \dfrac{20}{9}\\\sqrt{5}\leq \dfrac{20}{9}+\dfrac{1}{100}=\dfrac{2009}{900}\\5\leq \dfrac{4036081}{810000}=4\dfrac{796081}{810000}$

Неравенство не выполняется, значит, дробь не подходит.

n = 10 — 22,2 < m < 22,5 — не подходит;

n = 11 — 24,42 < m < 24,75 — не подходит;

n = 12 — 26,64 < m < 27 — не подходит;

n = 13 — 28,86 < m < 29,25 — существует m = 29.

Проверим дробь $\dfrac{29}{13}$:

$\sqrt{5}-\dfrac{1}{100}\leq \dfrac{29}{13}\\\sqrt{5}\leq \dfrac{2913}{1300}\\5\leq \dfrac{8485569}{1690000}=5\dfrac{35569}{1690000}$ — верно.

$\dfrac{29}{13}\leq \sqrt{5}+\dfrac{1}{100}\\\dfrac{2887}{1300}\leq \sqrt{5}\\4\dfrac{1574769}{1690000}=\dfrac{8334769}{1690000}\leq 5$ — верно.

Значит, данная дробь нам подходит.

Answer 2

Чтобы найти такую дробь, давайте начнем с представления квадратного корня из 5 в виде непрерывной дроби:

√5 = [2; 4, 4, 4, ...]

Это означает, что первая цифра - 2, а последующие цифры (4, 4, 4, ...) образуют повторяющийся блок. Теперь давайте представим эту непрерывную дробь в виде обыкновенной дроби:

x = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + ...)))

Теперь, чтобы найти приближенное значение x, мы можем начать с последних цифр (4) и поочередно вставлять их обратно в выражение:

x = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + ...))) x = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + ...))) ≈ 2 + 1 / 4 x ≈ 2.25

Итак, наименьшая обыкновенная дробь с наименьшими натуральными числителем и знаменателем, которая с точностью не менее 0.01 равна квадратному корню из 5, это приближенно 9/4 = 2.25.

Обратите внимание, что квадратный корень из 5 - это иррациональное число, поэтому никакая дробь не сможет представить его точно.