Question

СРОЧНО! Найдите значения параметра а, при которых уравнение (x+1)|x-2|=a^2 имеет три корня.

Answer 1

$(x + 1)|x-2| = a^{2}$

Первый способ (аналитический)

1) Если $x > 2$, то $(x + 1)(x-2) = a^{2}:$

$x^{2}-x-2 = a^{2}$

$x^{2} - x - 2 - a^{2} = 0$

$x^{2} - x - (2 + a^{2}) = 0$

$D = (-1)^{2} + 4(2 + a^{2}) = 1+8 + 4a^{2} = 9 + 4a^{2} > 0$

$x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9 + 4a^{2}}}{2}$

Проверим условие $x > 2:$

$1.1) \ \dfrac{1 + \sqrt{9 + 4a^{2}}}{2} > 2$

$1 + \sqrt{9 + 4a^{2}} > 4$

$\sqrt{9 + 4a^{2}} > 3$

$9 + 4a^{2} > 9$

$4a^{2} > 0$

$a \neq 0$

$1.2) \ \dfrac{1 - \sqrt{9 + 4a^{2}}}{2} > 2$

$1 - \sqrt{9 + 4a^{2}} > 4$

$\sqrt{9 + 4a^{2}} < -3$

$a \in \varnothing$

Таким образом, если $a \neq 0$, то имеем корень $x = \dfrac{1 + \sqrt{9 + 4a^{2}}}{2}$

2) Если $x < 2$, то $-(x + 1)(x-2) = a^{2}:$

$x^{2}-x-2 = -a^{2}$

$x^{2} - x - 2 + a^{2} = 0$

$x^{2} - x - (2 - a^{2}) = 0$

$D = (-1)^{2} + 4(2 - a^{2}) = 1+8 - 4a^{2} = 9 - 4a^{2}$

Найдем такие значения $a$, при которых $D > 0:$

$9 - 4a^{2} > 0$

$4a^{2} < 9$

$\sqrt{4a^{2}} < \sqrt{9}$

$2|a| < 3$

$a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ \dfrac{3}{2} \right)$

Тогда корни:

$x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{4 - 9a^{2}}}{2}$

Проверим условие $x < 2:$

$2.1) \ \dfrac{1 + \sqrt{9 - 4a^{2}}}{2} < 2$

$1 + \sqrt{9 - 4a^{2}} < 4$

$\sqrt{9 - 4a^{2}} < 3$

$9 - 4a^{2} < 9$

$-4a^{2} < 0$

$4a^{2} > 0$

$a \neq 0$

$2.2) \ \dfrac{1 - \sqrt{9 - 4a^{2}}}{2} < 2$

$1 - \sqrt{9 - 4a^{2}} < 4$

$\sqrt{9 - 4a^{2}}>-3$

$a \in \left[-\dfrac{3}{2}; \ \dfrac{3}{2} \right]$

С учетом $a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ \dfrac{3}{2} \right)$ имеем: $a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ 0 \right) \cup \left(0; \ \dfrac{3}{2} \right)$

Таким образом, при $a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ 0 \right) \cup \left(0; \ \dfrac{3}{2} \right)$ имеем три корня.

Второй способ (графический)

Рассмотрим две функции:

$f(x) = (x+1)|x-2|$

$g(x) = a^{2}$ — линейная функция, график — прямая, параллельная оси абсцисс

Изобразим на координатной плоскости функцию $f(x)$

1) Если $x \geq 2$, то $f(x) = (x + 1)(x-2)$ — квадратичная функция, график — парабола, ветви параболы направлены вверх

2) Если $x < 2$, то $f(x) = -(x + 1)(x-2)$ — квадратичная функция, график — парабола, ветви параболы направлены вниз

Вершина параболы: $(x_{0}; \ y_{0}) = \left(\dfrac{1}{2}; \ \dfrac{9}{4} \right)$

Изобразим данные функции на соответствующих участках (см. вложение).

Уравнение $(x + 1)|x-2| = a^{2}$ будет иметь три корня, если будет три пересечения графика функции $f(x) = (x+1)|x-2|$ c $g(x) = a^{2}$

Так будет, если $0< a^{2} < \dfrac{9}{4}$ или $\displaystyle \left \{ {{a^{2} > 0 \ } \atop {a^{2} < \dfrac{9}{4} }} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{a \neq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ \dfrac{3}{2} \right)}} \right.$

Решением системы будет $a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ 0 \right) \cup \left(0; \ \dfrac{3}{2} \right)$

Таким образом, при $a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ 0 \right) \cup \left(0; \ \dfrac{3}{2} \right)$ имеем три корня.

Ответ: $a \in \left(-\dfrac{3}{2}; \ 0 \right) \cup \left(0; \ \dfrac{3}{2} \right)$

Answer 2

Давайте разберёмся с уравнением (x+1)|x-2| = a^2.

Заметим, что |x-2| всегда неотрицательное значение. Это означает, что (x+1)|x-2| также неотрицательно. Таким образом, у нас есть два случая:

1. (x+1)(x-2) = a^2, если x ≥ 2,
2. -(x+1)(x-2) = a^2, если x < 2.

Рассмотрим первый случай:

(x+1)(x-2) = a^2, x^2 - 2x + x - 2 = a^2, x^2 - 2 = a^2, x^2 = a^2 + 2.

Рассмотрим второй случай:

-(x+1)(x-2) = a^2, -x^2 + 2x - x + 2 = a^2, -x^2 + 2 = a^2, x^2 = 2 - a^2.

Таким образом, мы получили два уравнения:

1. x^2 = a^2 + 2,
2. x^2 = 2 - a^2.

Уравнение x^2 = a^2 + 2 имеет решения для всех действительных a, так как справа стоит положительное число, а значит, можно найти действительные корни.

Уравнение x^2 = 2 - a^2 имеет действительные корни только при |a| < √2, так как иначе справа будет отрицательное число, а корни станут комплексными.

Таким образом, чтобы уравнение (x+1)|x-2| = a^2 имело три корня, нужно:

1. Удовлетворить уравнению x^2 = a^2 + 2 (для этого a может быть любым действительным числом).
2. Удовлетворить условию |a| < √2.

Таким образом, значения параметра a, при которых уравнение (x+1)|x-2| = a^2 имеет три корня, будут теми значениями a, для которых выполняются оба указанных выше условия: -√2 < a < √2.