Question

Определите истинность следующих высказываний, при условии, что x,y,z∈R. ∃x ∃y x+y=2 ∀x ∀y x+y=2∃x ∀y x+y=2 ∀x ∃y x+y=2

Answer 1

∃x ∃y x+y=2 - истинно, т.к найдутся такие x и y, что x+y=2, например x=1;y=1.

∀x ∀y x+y=2 - ложь, т.к не для любых  x и y x+y=2, например x=2;y=1.

∃x ∀y x+y=2 - истинно, т.к найдется такое x, что для любого y x+y=2, когда x=2-y.

∀x ∃y x+y=2 - истинно, т.к найдется такое y, что для любого x x+y=2, когда y=2-x.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое высказывание по отдельности:

1. ∃x ∃y x+y=2: Данное высказывание говорит о том, что существуют такие значения x и y в множестве действительных чисел, что их сумма равна 2. Это высказывание истинно, так как можно, например, взять x=1 и y=1, и их сумма будет равна 2.

2. ∀x ∀y x+y=2: Данное высказывание утверждает, что для любых значений x и y в множестве действительных чисел их сумма равна 2. Это высказывание неверно, так как существуют такие значения x и y, для которых их сумма не будет равна 2. Например, если взять x=1 и y=1, то их сумма будет равна 2, но если взять x=2 и y=3, то их сумма будет равна 5, а не 2.

3. ∃x ∀y x+y=2: Данное высказывание говорит о том, что существует такое значение x в множестве действительных чисел, что для любого значения y его сумма с x будет равна 2. Это высказывание истинно, так как можно взять любое значение x, например, x=2, и независимо от значения y, его сумма с x будет равна 2.

4. ∀x ∃y x+y=2: Данное высказывание утверждает, что для любого значения x в множестве действительных чисел существует такое значение y, что их сумма равна 2. Это высказывание истинно, так как можно взять любое значение x, например, x=1, и выбрать y=1, чтобы их сумма была равна 2.

Итак, истинными высказываниями являются первое (1) и четвертое (4), а второе (2) и третье (3) высказывания неверны.