Question

Решите систему уравнений Х×у= -12 Х²+у²= 25

Answer 1

Умножим уравнение xy = -12 на два и сложим со вторым уравнением:

$x^2+y^2+2xy=25-24;\\\\(x+y)^2=1 \Rightarrow x+y=\pm1$

Теперь вычтем из второго уравнения удвоенное первое:

$x^2+y^2-2xy=25-(-24);\\\\(x-y)^2=49\Rightarrow x-y=\pm7$

Заметим, что если $(x; y)$ - решение, то $(-x; -y)$ - тоже решение в силу четности, и $(y; x)$ - тоже решение в силу симметрии. Поэтому достаточно найди найти одно любое решение и автоматически можно будет записать все остальные.

Возьмем к примеру равенства $x-y=7, x+y=1$ и запишем новую систему $\left \{ {{x+y=1} \atop {x-y=7}} \right.$. Складываем оба уравнения и получаем, что $2x=8\Rightarrow x=4$. Подставляем $x$, к примеру, в первое уравнение и получаем, что $4+y=1\Rightarrow y=-3$.

Пара $(4; -3)$ - решение. В силу описанной выше особенности системы подбираем еще 3 решения: $(-3; 4)$, $(-4;3)$ и $(3;-4)$/

Решать можно было и без симметрии и четности. Для этого достаточно к записанной выше системе $\left \{ {{x+y=1} \atop {x-y=7}} \right.$ дописать еще три: $\left \{ {{x+y=1} \atop {x-y=-7}} \right.; \left \{ {{x+y=-1} \atop {x-y=7}} \right.; \left \{ {{x+y=-1} \atop {x-y=-7}} \right.$. Если их решить, то получим все те же пары решений.

ОТВЕТ: (4; -3), (-3; 4), (-4; 3), (3; -4).

Answer 2

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки. Давайте начнем.

У нас есть система уравнений:

1. $xy = -12$
2. $x^2 + y^2 = 25$

Из первого уравнения мы можем выразить одну из переменных, скажем, $y$, через другую переменную $x$:

$y = \frac{-12}{x}$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение:

$x^2 + \left(\frac{-12}{x}\right)^2 = 25$

Упростим второе уравнение:

$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$

Умножим обе стороны уравнения на $x^2$ для того, чтобы избавиться от дроби:

$x^4 + 144 = 25x^2$

Теперь это уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения:

$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$

Давайте заметим, что это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -25$ и $c = 144$. Мы можем решить это квадратное уравнение относительно $x^2$ с помощью дискриминанта:

$x^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставим значения $a$, $b$ и $c$:

$x^2 = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1}$ $x^2 = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2}$ $x^2 = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2}$ $x^2 = \frac{25 \pm 7}{2}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для $x^2$:

1. $x^2 = \frac{25 + 7}{2} = 16 \Rightarrow x = 4$
2. $x^2 = \frac{25 - 7}{2} = 9 \Rightarrow x = 3$

Теперь, зная $x$, мы можем найти соответствующие значения для $y$ с помощью первого уравнения $xy = -12$:

1. $x = 4: y = \frac{-12}{4} = -3$
2. $x = 3: y = \frac{-12}{3} = -4$

Итак, у нас есть две пары решений для системы уравнений:

1. $x = 4, y = -3$
2. $x = 3, y = -4$