Question

Найдите наименьшее n > 2016 такое, что 1^n + 2^n + 3^n + 4^n не кратно 10.​

Answer 1

Ответ:

2020

Пошаговое объяснение:

$1^n$ и $3^n$ нечетны, а значит их сумма четна. Тогда $1^n+2^n+3^n+4^n$ четно, т.е. кратно 2.

$1^n + 2^n + 3^n + 4^n=1^n + 2^n + (5-2)^n + (5-1)^n\equiv 1^n + 2^n + (-2)^n + (-1)^n(mod\; 5)$

Если n нечетно, то $1^n + 2^n + (-2)^n + (-1)^n=1^n + 2^n -2^n -1^n=0$ - а значит $1^n+2^n+3^n+4^n$ делится на 5 => для нечетных n

Иначе: $n=2k=>1^n+2^n+3^n+4^n=1^k + 4^k + 9^k + 16^k\equiv 1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k (mod\; 10)$

Если k нечетно, $1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k= 1^k + 4^k -1^k -4^k =0$ - а значит $1^n+2^n+3^n+4^n$ делится на 10.

Иначе $k=2l=> 1^k + 4^k + (-1)^k + (-4)^k =1^l + 16^l + 1^l +16^l=2+2*16^l\equiv 2+2*6^l(mod\; 10)\equiv\left [6^l\equiv 6(mod\; 10)\right ] \equiv2+2*6(mod\; 10)=14\equiv 4(mod\; 10)$ - а значит для четного k $1^n+2^n+3^n+4^n$ не делится на 10.

$n=4l>2016=>l>504=>l_{min}=505=>n_{min}=4*505=2020$

Answer 2

Давайте рассмотрим числа, возведенные в степени n, где n > 2016:

1^n = 1 2^n = 2, 4, 8, 16, ... 3^n = 3, 9, 27, 81, ... 4^n = 4, 16, 64, 256, ...

Заметим, что каждый член последовательности 2^n имеет остаток 2 при делении на 10, каждый член последовательности 3^n имеет остаток 3 при делении на 10, и каждый член последовательности 4^n имеет остаток 4 при делении на 10.

Чтобы сумма 1^n + 2^n + 3^n + 4^n не была кратной 10, нужно, чтобы остатки от деления каждого члена на 10 не суммировались до кратного 10. Это означает, что нужно избежать ситуации, когда сумма остатков от деления 2^n, 3^n и 4^n на 10 составит 0, 10 или 20 (например, 2 + 3 + 4 = 9 или 2 + 8 + 4 = 14 и так далее).

Чтобы минимизировать n, давайте попробуем найти такую сумму с наименьшими возможными n для каждого члена.

• Для 2^n, чтобы остаток был 2, n должно быть кратным 4 (2, 6, 10, ...).
• Для 3^n, чтобы остаток был 3, n должно быть нечетным (3, 5, 7, ...).
• Для 4^n, чтобы остаток был 4, n должно быть кратным 2 (2, 4, 6, ...).

Следовательно, наименьшее значение n > 2016, для которого сумма 1^n + 2^n + 3^n + 4^n не кратна 10, будет минимальным общим кратным 4, 2 и нечетного числа больше 2016.

Минимальное общее кратное 4 и 2 равно 4, и наименьшее нечетное число больше 2016 - это 2017.

Таким образом, наименьшее значение n будет равно 2017.