Question

Сколько существует натуральных n, меньших 1000, для которых n в степени n+1 является квадратом натурального числа?

Answer 1

Ответ:

499 чисел

Пошаговое объяснение:

nⁿ⁺¹=m²;  n, m ∈ N;

Попробуем:

3⁴=3²*3²=(3²)²=9²;

4⁵=16*16*4=1024 - не подходит!

5⁶=(5³)²=125²;

Получается только при четных степенях. Т.е. числа вида

(2b-1)²ᵇ, где b≥2; b ∈ N.

(2b-1)²ᵇ=[(2b-1)ᵇ]².

Все нечетные числа, начиная с 3. Всего 1000/2 -1=499.

Answer 2

Чтобы число n в степени n+1 было квадратом натурального числа, необходимо и достаточно, чтобы показатель степени n+1 был чётным, то есть (n+1) должно быть чётным числом.

Теперь рассмотрим значения (n+1) от 2 до 1001 (включительно), и проверим, сколько из них являются чётными. Если (n+1) является чётным, то n = (n+1) - 1 также будет чётным.

Всего существует 1000 натуральных чисел меньше 1000 (от 1 до 1000). Половина из них будет чётными числами (500 чисел), и каждое из них может быть (n+1) для некоторого n.

Таким образом, существует 500 натуральных чисел n, меньших 1000, для которых n в степени n+1 является квадратом натурального числа.