Question

Разложить на множители многочлен x^4 - x^3 + x^2 - 2 x - 5

Answer 1

////////////////////////

Answer 2

Для разложения многочлена на множители мы будем использовать метод синтетического деления и проверку на рациональные корни (теорему о рациональных корнях).

Данный многочлен: $x^4 - x^3 + x^2 - 2x - 5$

Сначала давайте проверим, есть ли рациональные корни этого многочлена. Рациональный корень будет иметь вид $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель свободного члена (-5), а $q$ - делитель старшего коэффициента (1). Таким образом, $p$ может быть -1 или 1, и $q$ также может быть -1 или 1.

Используя синтетическое деление, начнем с проверки $x = 1$:

$$\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & -1 & 1 & -2 & -5 \\ \hline & & 1 & 0 & 1 & -1 \\ \end{array}$$

После проверки $x = 1$ мы видим, что остаток не равен нулю, поэтому $x - 1$ не является множителем. Давайте попробуем $x = -1$:

$$\begin{array}{c|ccccc} -1 & 1 & -1 & 1 & -2 & -5 \\ \hline & & 1 & 0 & -1 & 3 \\ \end{array}$$

Теперь, когда $x = -1$, остаток равен нулю. Это означает, что $(x + 1)$ - это множитель многочлена. Мы можем разложить многочлен, используя этот множитель:

$$x^4 - x^3 + x^2 - 2x - 5 = (x + 1)(x^3 - x^2 + 2x - 5)$$

Теперь мы имеем кубический многочлен $x^3 - x^2 + 2x - 5$, который мы также можем разложить. Однако он не имеет рациональных корней, поэтому разложение будет менее очевидным и потребует использования других методов, таких как группировка или методы квадратного уравнения.

Таким образом, полное разложение этого многочлена на множители:

$$x^4 - x^3 + x^2 - 2x - 5 = (x + 1)(x^3 - x^2 + 2x - 5)$$

Далее, многочлен $x^3 - x^2 + 2x - 5$ может быть разложен дальше, но это потребует дополнительных шагов и методов разложения многочленов, так как у него нет рациональных корней.