Question

Построить биективное отображение одного множества на другое: интервал (0,1) и луч (0,+∞). Построить биективное отображение одного множества на другое: луч (0,+∞) и прямая (−∞,+∞)

Answer 1

ответ:

С={1, 1/2, 1/3,, 1/4, ..1/n,...} и D={1/2, 1/3,, 1/4, ..1/n,...}

Очевидно, С содержится в А, D содержится в В, причём A\C=B\D.

Так как А=AU(A\C) и B=BU(B\D), причём объединяемые множества не пересекаются, то ввиду равенства A\C=B\D для того чтобы решить данную задачу достаточно установить биекцию между множествами А и С.

Для этого поставим в соответствие элементу 1/n из множества С, элемент 1/(n+1) из множества В, т. е.

1 поставим в соответствие 1/2

1/2 поставим в соответствие 1/3

1/3 поставим в соответствие 1/4 и т. д.

Очевидно, это соответствие является биекцией (см. определение в предыдущем ответе) и, таким образом, задача решена.

Answer 2

Для построения биективного отображения между интервалом (0,1) и лучом (0, +∞), можно использовать следующую функцию:

f(x) = 1 / x

Данная функция отображает каждое значение x из интервала (0,1) в его обратное значение 1/x, которое лежит в луче (0, +∞). Это биективное отображение, так как каждому элементу из исходного множества соответствует единственный элемент в целевом множестве, и наоборот.

Для построения биективного отображения между лучом (0, +∞) и прямой (-∞, +∞), можно использовать следующую функцию:

g(x) = tan(x)

Здесь x - угол в радианах. Функция тангенса отображает каждое положительное значение x из луча (0, +∞) в соответствующее значение тангенса, которое лежит на прямой (-∞, +∞). Это биективное отображение, так как каждому элементу из исходного множества соответствует единственный элемент в целевом множестве, и наоборот.