Question

Найдите производную функции: y=(lnx)^3^x

Answer 1

$y=(lnx)^{3^{x}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ lny=3^{x}\cdot ln(lnx)\\\\ (lny)'=(3^{x}\cdot ln(lnx))'\\\\\dfrac{y'}{y}=3^{x}\cdot ln3\cdot ln(lnx)+3^{x}\cdot \dfrac{1}{lnx}\cdot \dfrac{1}{x}=3^{x}\cdot \Big(ln3\cdot ln(lnx)+\dfrac{1}{x\cdot lnx}\Big)\\\\\\y'=y\cdot 3^{x}\cdot \Big(ln3\cdot ln(lnx)+\dfrac{1}{x\cdot lnx}\Big)\\\\\\y'=(lnx)^{3^{x}}\cdot 3^{x}\cdot \Big(ln3\cdot ln(lnx)+\dfrac{1}{x\cdot lnx}\Big)$

Answer 2

Ответ:

решение на фотографии

Answer 3

Чтобы найти производную функции $y = (\ln x)^{3x}$, мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Правило для дифференцирования степенной функции $u = f(x)^{g(x)}$ состоит в том, чтобы взять производную логарифма функции $u$ и умножить его на $u$: $\frac{du}{dx} = u \cdot \left( \frac{d}{dx} \ln u \right)$

Применяя это к нашей функции $y = (\ln x)^{3x}$: $u = (\ln x)^{3x}$ $\ln u = 3x \cdot \ln(\ln x)$

Теперь возьмем производную логарифма $\ln u$: $\frac{d}{dx} \ln u = \frac{d}{dx} \left( 3x \cdot \ln(\ln x) \right)$

Применяя правило умножения, получаем: $\frac{d}{dx} \ln u = 3 \ln(\ln x) + 3x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}$

Теперь вернемся к исходной формуле для $u$: $\frac{du}{dx} = (\ln x)^{3x} \cdot \left( 3 \ln(\ln x) + \frac{3}{x \cdot \ln x} \right)$

Итак, производная функции $y = (\ln x)^{3x}$ по $x$: $\frac{dy}{dx} = (\ln x)^{3x} \cdot \left( 3 \ln(\ln x) + \frac{3}{x \cdot \ln x} \right)$