Question

8 класс Помогите решить: розв'яжіть рівнення x*2+y*2-8x+12y+52=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x² + y² - 8x + 12y + 52 = 0.

Чтобы решить данное уравнение выделим полные квадраты, используя формулы сокращённого умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²,  (a - b)² = a² - 2ab + b².

x² - 8x + y² + 12y + 52 = 0,

х² - 2 · 4 · х + 4² - 4² + у² - 2 · у · 6 + 6² - 6² + 52 = 0,

(x - 4)² - 16 + (y + 6)² - 36 + 52 = 0,

(x - 4)² + (y + 6)² = 0.

Т.к. левая часть принимает только неотрицательные значения при любых значениях переменных х и у, то сумма двух неотрицательных выражений равна 0 только тогда, когда каждое из слагаемых будет равно 0, т.е. при x - 4 = 0 и  y + 6 = 0, откуда x = 4, y = -6.

Ответ: (4; - 6) или  x = 4, y = -6.

Answer 2

Звідси x2 + y2 - 8x + 12y + 52 = 0 можна переписати у вигляді квадратичного рівняння за x і y окремо:

x2 - 8x + y2 + 12y + 52 = 0

Тепер давайте спробуємо завершити квадрат для обох змінних x і y.

Для x: x*2 - 8x + (8/2)^2 = (x - 4)^2 - 16

Для y: y*2 + 12y + (12/2)^2 = (y + 6)^2 - 36

Підставимо ці значення у рівняння:

(x - 4)^2 - 16 + (y + 6)^2 - 36 + 52 = 0

(x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 0

Тепер ми бачимо, що квадрати двох доданків завжди додатні або дорівнюють нулю, але вони не можуть дорівнювати нулю одночасно, якщо x і y - це дійсні числа (тобто рівняння x2 + y2 - 8x + 12y + 52 = 0 не має розв'язків у дійсних числах).