Question

Петрик впевнений, що зможе заповнити табличку розмірами n × n натуральними числами від 1 до n (числа можуть повторюватись) так, що в кожному рядку и стовпчику числа не повторювалися, а сума чисел на головній діагоналі (з лівої верхньої клітинки до нижньої правої) була рівна наперед заданому числу k. Визначте, для яких n та k це дійсно можливо.

Answer 1

Ответ:

cума всіх чисел таблиці як сума чисел по рядках 5*30=150

сума всіх чисел таблиці як сума по стовпчиках 6*20=120

120 не дорівнює 150, а отже заповнити таблицю вказаним у задачі чином неможливо

Answer 2

Для того щоб зрозуміти, при яких значеннях n і k це завдання є можливим, розглянемо деякі обмеження та спостереження.

Позначимо суму чисел на головній діагоналі як S. Оскільки у нас є n чисел, які можуть приймати значення від 1 до n, то максимальна можлива сума на діагоналі буде 1 + 2 + ... + n = n*(n+1)/2.

З іншого боку, найменша можлива сума на діагоналі буде, коли використовуються найменші числа від 1 до n. Тобто, S буде дорівнювати n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1 = n*(n+1)/2.

Таким чином, можливі значення суми S на головній діагоналі будуть від n*(n+1)/2 до n*(n+1)/2.

Тепер ми можемо визначити можливі значення n і k, для яких завдання можливе:

n*(n+1)/2 <= k <= n*(n+1)/2

З цього рівняння можна вивести можливі значення n і k. Для кожного значення n, можна знайти максимальне та мінімальне можливе значення k, і всі значення k між ними будуть також можливі.

Наприклад, якщо n = 3, то ми маємо:

Мінімальна можлива сума на діагоналі: 1 + 2 + 3 = 6 Максимальна можлива сума на діагоналі: 3 + 2 + 1 = 6

Отже, для n = 3 можливе лише значення k = 6.

Таким чином, можна визначити можливі пари (n, k), для яких дане завдання може бути вирішене.