Question

Решить уравнения х^4- 3х^3- х^2 - x + 4 = 0​

Answer 1

Приведем к виду:

(x^4-x^3)+x^3-x^2+(x^3-x)+4*(1-x^3)  =0

один корень х=1

Поделим всё на (х-1)

х^3+x^2+x*(x+1)-4*(x^2-x+1)=0

x^3+2x^2+x-4x^2+4x-4=0

x^3-2x^2+5x-4=0

x^3-x^2-x^2+x+4*(x-1)=0

x^2*(x-1)-x*(x-1)+4*(x-1)=0

Второй корень  тоже х=1

Делим на (х-1)

x^2-x+4=0

дискриминант 1-16=-15<0

Значит действительных корней нет.

Итак , действительный корень один х=1 кратности 2.

Можно найти комплексные

x^2-x+0,25=-3,75  x^2-x+0,25=-0,25*15

x=0,5*(1+i*sqrt(15))  или x=0,5*(1-i*sqrt(15))

Ответ:  действительные корни х1=1, х2=1

Комплексные    x3=0,5*(1+i*sqrt(15))  , x4=0,5*(1-i*sqrt(15))

здесь   i -мнимая единица, sqrt(15) - корень квадратный из 15.

Answer 2

Решение уравнения $x^4 - 3x^3 - x^2 - x + 4 = 0$ в аналитической форме может быть довольно сложным, так как нет очевидных методов для нахождения его корней. Однако мы можем воспользоваться численными методами, чтобы приближенно найти корни уравнения.

Один из таких численных методов - это метод Ньютона (или метод касательных). Этот метод позволяет найти приближенные значения корней уравнения, начиная с какой-либо начальной догадки. Процесс итеративно приближается к корню, уточняя его с каждым шагом.

Давайте выберем начальную точку $x_0$ и применим метод Ньютона для нахождения корней. В данном случае, начнем с $x_0 = 1$:

1. Выразим производную функции $f(x) = x^4 - 3x^3 - x^2 - x + 4$: $f'(x) = 4x^3 - 9x^2 - 2x - 1$

2. Применяем метод Ньютона для итераций: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Проведем несколько итераций:

• $n = 0: x_0 = 1$ $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1 - \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$

• $n = 1: x_1 = \frac{1}{3}$ $x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$

Продолжаем итерации, пока разница между последовательными приближениями не станет достаточно маленькой.

Помимо метода Ньютона, существуют и другие численные методы, такие как метод бисекции, метод секущих и т.д. В зависимости от задачи и требуемой точности, выбор метода может меняться.