Question

Упростить выражение 1 )Sin 2t/cos t + sin t, 2) sin ²t+ cos 2t, 3) sin 2t/ cos t, 4) cos 2t/ cost- sin t буду благодарен если поможете с развернутыми ответами

Answer 1

1) $\displaystyle \frac{sin (2t)}{cos(t)}+ sin t=\frac{2*sin(t)*cos(t)}{cos(t)}+ sin t=2sin(t)+ sin t = 3sin t$

2) $\displaystyle sin ^{2}(t)+ cos (2t)=sin ^{2}(t)+(cos ^{2}(t)-sin ^{2}(t))=sin ^{2}(t)+cos ^{2}(t)-sin ^{2}(t)=$

$\displaystyle = cos^{2}(t)$

3) $\displaystyle \frac{sin(2t)}{cos(t)} = \frac{2*sin(t)*cos(t)}{cos(t)}=2sin(t)$

4) $\displaystyle \frac{cos(2t)}{cos(t)-sin(t)} =\frac{cos^{2}(t)-sin^{2}(t)}{cos(t)-sin(t)} =\frac{(cos(t)-sin(t))(cos(t)+sin(t))}{cos(t)-sin(t)}=$

$\displaystyle =cos(t)+sin(t)$

Answer 2

Конечно, давайте упростим данные выражения одно за другим:

1. Выражение: $\frac{\sin(2t)}{\cos(t)} + \sin(t)$

   Для начала, мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения:

   $\sin(2t) = 2 \sin(t) \cos(t)$

   Теперь подставим это в исходное выражение:

   $\frac{2 \sin(t) \cos(t)}{\cos(t)} + \sin(t)$

   Упростим дробь, делая сокращение:

   $2 \sin(t) + \sin(t)$

   $3 \sin(t)$

   Таким образом, упрощенное выражение: $3 \sin(t)$.

2. Выражение: $\sin^2(t) + \cos(2t)$

   Мы можем использовать тождество $\cos(2t) = 1 - 2 \sin^2(t)$:

   $\sin^2(t) + 1 - 2 \sin^2(t)$

   $1 - \sin^2(t)$

   Это идентично косинусу второго аргумента. Таким образом, упрощенное выражение: $\cos(2t)$.

3. Выражение: $\frac{\sin(2t)}{\cos(t)}$

   Здесь мы можем использовать тождество $\sin(2t) = 2 \sin(t) \cos(t)$:

   $\frac{2 \sin(t) \cos(t)}{\cos(t)}$

   Упростим дробь, делая сокращение:

   $2 \sin(t)$

   Таким образом, упрощенное выражение: $2 \sin(t)$.

4. Выражение: $\frac{\cos(2t)}{\cos(t)} - \sin(t)$

   Мы можем использовать тождество $\cos(2t) = 1 - 2 \sin^2(t)$:

   $\frac{1 - 2 \sin^2(t)}{\cos(t)} - \sin(t)$

   Разделим числитель на знаменатель:

   $\frac{1}{\cos(t)} - 2 \frac{\sin^2(t)}{\cos(t)} - \sin(t)$

   $\sec(t) - 2 \sin(t) \sec(t) - \sin(t)$

   $(\sec(t) - \sin(t)) (1 - 2 \sin(t))$

   Таким образом, упрощенное выражение: $(\sec(t) - \sin(t)) (1 - 2 \sin(t))$.

Надеюсь, это поможет вам лучше понять упрощение тригонометрических выражений!