Question

(2x+1)dy=(y-1)dx найти частные решения дифференциальное уравнений​ если y(3)=-13

Answer 1

Ответ:

$y(x)=-2\sqrt{14x+7}+1$

Пошаговое объяснение:

1 Запишем

$(2x+1)dy=(y-1)dx$

2 Определим тип уравнения

Уравнение с разделяющимися переменными

3 Разделим переменные

$\dfrac{dx}{(2x+1)}=\dfrac{dy}{y-1}$

4 Проинтегрируем обе части

$\displaystyle \int\dfrac{dx}{(2x+1)}=\int\dfrac{dy}{y-1}$

5 Запишем первый и второй интегралы по-другому

$\displaystyle\dfrac12 \int\dfrac{d(2x+1)}{(2x+1)}=\int\dfrac{d(y-1)}{y-1}$

6 Проинтегрируем, учитывая что $\displaystyle \int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+const$

$\dfrac12\ln|2x+1|+C=\ln|y-1|$

7 Запишем константу как логарифм константы

$\dfrac12\ln|2x+1|+\ln c=\ln|y-1|$

8 Внесем множитель $\dfrac12$ как степень в логарифм

$\ln\sqrt{|2x+1|}+\ln c=\ln|y-1|$

9 Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения

$\ln c\sqrt{|2x+1|}=\ln|y-1|$

10 Уберем логарифмы

$c\sqrt{|2x+1|}=|y-1|$

11 Уберем модули так как константа может принимать и отрицательные значения

$y(x)=c\sqrt{2x+1}+1$

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

$y(x)=c\sqrt{2x+1}+1$

Найдем частное решение, составив равенство

1 Запишем

$y(3)=-13$

2 Заменим функцию

$c\sqrt{2\cdot3+1}+1=-13$

3 Решим уравнение

$c\sqrt{7}=-14\\c=-\dfrac{14}{\sqrt7}\\c=-\dfrac{14\sqrt7}{7}\\c=-2\sqrt7$

4 Подставим значение с в нашу функцию

$y(x)=-2\sqrt7\sqrt{2x+1}+1$

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

$y(x)=-2\sqrt{14x+7}+1$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Давайте начнем:

$(2x+1)dy = (y-1)dx$

Разделим обе стороны на $(2x+1)(y-1)$:

$\frac{dy}{y-1} = \frac{dx}{2x+1}$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{y-1} \, dy = \int \frac{1}{2x+1} \, dx$

Левую сторону можно проинтегрировать, используя замену переменных $u = y-1$ (отсюда $du = dy$):

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C_1$

Аналогично правую сторону можно проинтегрировать, используя замену переменных $v = 2x+1$ (отсюда $dv = 2 \, dx$):

$\int \frac{1}{v} \, dv = \ln|v| + C_2$

Таким образом, получаем:

$\ln|y-1| + C_1 = \ln|2x+1| + C_2$

Следовательно,

$\ln|y-1| = \ln|2x+1| + C$

где $C = C_2 - C_1$.

Избавимся от логарифмов, применив экспоненту:

$|y-1| = e^C |2x+1|$

Теперь учитывая начальное условие $y(3) = -13$, подставим $x = 3$ и $y = -13$:

$|-13-1| = e^C |2 \cdot 3 + 1|$

$|-14| = e^C |7|$

$14 = 7e^C$

$e^C = 2$

Так как экспонента всегда положительна, мы можем избавиться от модуля:

$e^C = 2$

Теперь найдем значение $C$ с помощью $e^C = 2$:

$C = \ln 2$

Итак, уравнение принимает вид:

$|y-1| = 2|2x+1|$

Теперь рассмотрим два случая:

1. $y - 1 = 2(2x+1)$ $y = 4x + 3$

2. $y - 1 = -2(2x+1)$ $y = -4x - 1$

Таким образом, мы получили два частных решения дифференциального уравнения:

1. $y = 4x + 3$
2. $y = -4x - 1$

Изначальное условие $y(3) = -13$ подходит ко второму решению $y = -4x - 1$.