Question

В корзине лежат 8 белых и 4 чёрных шара(ов). Из корзины достали 5 шара(ов). Какова вероятность, что они одного цвета?

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{7}{99}\approx 0.07$

Пошаговое объяснение:

Очевидно, т.к. черных шаров меньше 5, одного цвета шары могли оказаться лишь в случае, когда они все белые.

Число способов выбрать 5 из 8 белых шаров $C_8^5$.

Всего вариантов достать 5 шаров $C_{8+4}^5=C_{12}^5$

Искомая вероятность $\dfrac{C_8^5}{C_{12}^5}=\dfrac{8!}{5!3!}\cdot \dfrac{5!7!}{12!}=\dfrac{7*6*5*4}{12*11*10*9}=\dfrac{7}{99}\approx 0.07$

Answer 2

Для вычисления вероятности того, что извлеченные 5 шаров будут одного цвета, мы можем рассмотреть два случая: все белые или все черные. Затем сложим вероятности этих двух случаев.

Вероятность вытащить 5 белых шаров: $P(\text{5 белых}) = \frac{\text{количество способов выбрать 5 белых из 8}}{\text{общее количество способов выбрать 5 из 12}} = \frac{C(8, 5)}{C(12, 5)}$

где $C(n, k)$ - количество способов выбрать $k$ элементов из $n$.

Вероятность вытащить 5 черных шаров: $P(\text{5 черных}) = \frac{\text{количество способов выбрать 5 черных из 4}}{\text{общее количество способов выбрать 5 из 12}} = \frac{C(4, 5)}{C(12, 5)}$

Таким образом, вероятность того, что будут вытащены шары одного цвета, равна сумме вероятностей обоих случаев: $P(\text{одного цвета}) = P(\text{5 белых}) + P(\text{5 черных})$

Подставляя значения и вычисляя числитель и знаменатель дробей, мы можем найти численное значение вероятности.

Итак, подставив значения: $P(\text{одного цвета}) = \frac{C(8, 5)}{C(12, 5)} + \frac{C(4, 5)}{C(12, 5)}$

Подсчет комбинаций: $C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = 56$ $C(4, 5) = 0$ (нельзя выбрать 5 из 4 элементов)

$C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = 792$

Таким образом: $P(\text{одного цвета}) = \frac{56}{792} + \frac{0}{792} = \frac{56}{792} = \frac{7}{99} \approx 0.0707$

Итак, вероятность того, что извлеченные 5 шаров будут одного цвета, составляет примерно 0.0707 или около 7.07%.