Question

Діагональ бічної грані правильної чотирикутної призми дорівнює а і утворює з діагоналлю призми, яка виходить з тієї ж вершини, кут альфа .. Знайдіть площу бічної поверхні призми​

Answer 1

Ответ:

4а^2 * (tg альфа) * (√ (1 - tg^2 альфа)    

Пошаговое объяснение:

1) В полученном прямоугольном треугольнике диагональ призмы является гипотенузой, а диагональ боковой грани и сторона квадрата, который лежит в основании, - катетами.

2) Выражаем катет, являющийся стороной квадрата (обозначим его в), через а:

катет равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего этому катету:

в = а * tg альфа.

3) Теперь в боковой грани находим высоту (обозначим её с):

с^2 (квадрат катета) = a^2 (квадрат гипотенузы)  - (а * tg альфа)^2 (квадрат другого катета) ; отсюда  c = a √ (1 - tg^2 альфа) .  

4) Находим площадь боковой поверхности призмы (площадь одной грани умножить на 4):

4 * (а * tg альфа) * (a √ (1 - tg^2 альфа)) = 4а^2 * (tg альфа) * (√ (1 - tg^2 альфа)    

Answer 2

Позначимо через PABCDEFG правильну чотирикутну призму, де ABCD - основа, а P - вершина, з якої виходять діагоналі. Оскільки призма правильна, то усі бічні грані є рівнобедреними трапеціями. Площа бічної поверхні такої трапеції може бути знайдена за формулою:

$S_{\text{біч}} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h,$

де a і b - довжини основних сторін трапеції, h - її висота.

Подібно, площа трапеції ABCP може бути знайдена, використовуючи діагональ P у якості середньої лінії трапеції:

$S_{\text{ABC}P} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot d,$

де d - діагональ трапеції, яка виходить з вершини P.

Ми знаємо, що діагональ бічної грані призми дорівнює а, і діагональ призми, яка виходить з вершини P, утворює кут α з діагоналлю бічної грані. Тоді діагональ трапеції ABCP може бути знайдена з використанням тригонометричних відношень:

$d = \frac{a}{\cos(\alpha)}.$

Тепер ми можемо підставити це значення діагоналі d у формулу площі трапеції ABCP:

$S_{\text{ABC}P} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)}.$

Таким чином, площа бічної поверхні призми, яку утворюють всі бічні грані, буде дорівнювати сумі площ трапецій ABCP:

$S_{\text{біч}} = 4 \cdot S_{\text{ABC}P} = 2 \cdot (a + b) \cdot a \cdot \frac{1}{\cos(\alpha)}.$