Question

Діагональ бічної грані правильної чотирикутної призми дорівнює а і утворює з діагоналлю призми, яка виходить з тієї ж вершини, кут альфа . Знайдіть площу бічної поверхні призми​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Позначимо дані:

• Довжина діагоналі бічної грані правильної чотирикутної призми: $a$.
• Кут між діагоналлю бічної грані $a$ і діагоналлю призми, що виходить з тієї ж вершини: $\alpha$.

Площа бічної поверхні призми складається з чотирьох граней, які є прямокутниками. Площу кожної прямокутної грані можна обчислити, знаючи довжину бічної діагоналі $a$ та одну зі сторін прямокутника.

Звернімо увагу, що під час побудови призми, дві з чотирьох граней, які допомагають утворити бічну поверхню, є прямокутниками із сторонами $a$ та $\frac{a}{2}$. Оскільки ми знаємо, що діагональ бічної грані є однією зі сторін цього прямокутника, і кут між діагоналлю бічної грані і діагоналлю призми $\alpha$, ми можемо знайти іншу сторону прямокутника.

За допомогою тригонометричних співвідношень, можна записати:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилегла сторона}}{\text{гіпотенуза}} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$.

Виразимо $\alpha$ через обернений косинус:

$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Отже, ми знаємо, що $\alpha = 60^\circ$.

Тепер ми можемо знайти площу однієї з прямокутних граней за допомогою формули площі прямокутника: $S = \text{сторона}_1 \times \text{сторона}_2$. В даному випадку, сторона 1 - це $a$, а сторона 2 - це $\frac{a}{2}$.

$S_{\text{грані}} = a \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}$

Поскільки бічна поверхня складається з чотирьох таких граней, площа бічної поверхні призми дорівнює:

$S_{\text{бічної поверхні}} = 4 \times S_{\text{грані}} = 4 \times \frac{a^2}{2} = 2a^2$

Отже, площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює $2a^2$.