Question

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. где .A(2;1;2),B(0;4;2),C(0;1;8) D(2;4;10) Требуется: 1) записать векторы векторов; AB,AC,AD в системе ортi , j ,k и найти длины этих векторов. 2) найти угол между векторами AD,AC ; 3) найти проекцию вектора AD на вектор AB ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD; 6) составить уравнение ребра АС; 7) составить уравнение грани АВС.

Answer 1

√Даны координаты вершин пирамиды ABCD:

A(2;1;2),B(0;4;2),C(0;1;8) D(2;4;10)

Требуется:

1) записать векторы векторов; AB,AC,AD в системе ортi , j ,k и найти длины этих векторов.

x y z Квадрат Длина ребра

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} -2 3 0 13 3,605551275

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -2 0 6 40 6,32455532

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 0 3 8 73 8,544003745

Координаты в системе i , j ,k соответствуют координатам векторов по осям x y z.

2) найти угол между векторами AD,AC ;

cos(AD_AC) = ((-2*0 + 0*3 + 6*8)/(√40*√73) = 48/√2920 = 0,88828.

Угол равен 0,477209958  радиан или 27,34211651  градуса.

3) найти проекцию вектора AD на вектор AB ;

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · (-2) + 3 · 3 + 8 · 0 = 0 + 9 + 0 = 9

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx^2 + by^2 + bz^2) = √((-2)^2 + 3^2 + 0^2) = √(4 + 9 + 0) = √13

Пр ba =  9/√13 =   9√13 /13   ≈  2.49615088.

4) найти площадь грани АВС;

Находим произведение векторов

ABC [AB ; AC]= 18 12 6

Площадь  = Модуль/2 = 11,22497216 .

5) найти объем пирамиды АВСD;

Находим по смешанному произведению векторов AB, AC AD.

          x    y    z  

AB x AC 18    12     6  

       AD  0    3     8  

Произвед = 0 36 48 = 84

V = (1/6) * 84 = 14.  

6) составить уравнение ребра АС;

Уравнение AC  x - 2  = y - 1   = z - 2

                             -2      0       6  

7) составить уравнение грани АВС.

Составляем по координатам трёх точек.

15 x + 24 y + -12 z + -105 = 0 .

Или, сократив на 3:

5 x + 8 y + -4 z + -35 = 0 .

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности:

1. Запись векторов AB, AC и AD в системе ортов i, j, k и нахождение их длин:

Вектор AB = B - A = (0 - 2)i + (4 - 1)j + (2 - 2)k = -2i + 3j Длина AB: |AB| = √((-2)^2 + 3^2) = √13

Вектор AC = C - A = (0 - 2)i + (1 - 1)j + (8 - 2)k = -2i + 6k Длина AC: |AC| = √((-2)^2 + 6^2) = 2√10

Вектор AD = D - A = (2 - 2)i + (4 - 1)j + (10 - 2)k = 3j + 8k Длина AD: |AD| = √(3^2 + 8^2) = √73

2. Нахождение угла между векторами AD и AC:

Используем скалярное произведение векторов: AD · AC = |AD| * |AC| * cos(θ), где θ - угол между векторами.

cos(θ) = (AD · AC) / (|AD| * |AC|) θ = arccos((AD · AC) / (|AD| * |AC|))

AD · AC = (3 * 0) + (8 * 6) = 48 θ = arccos(48 / (√73 * 2√10))

3. Нахождение проекции вектора AD на вектор AB:

Проекция вектора AD на вектор AB равна: proj_AB(AD) = (AD · AB) / |AB| где · обозначает скалярное произведение.

AD · AB = (0 * -2) + (3 * 3) = 9 proj_AB(AD) = 9 / √13

4. Нахождение площади грани ABC:

Площадь треугольника ABC можно найти, используя половину векторного произведения векторов AB и AC: S_ABC = 0.5 * |AB × AC| где × обозначает векторное произведение.

Векторное произведение AB × AC = (AB_y * AC_z - AB_z * AC_y)i - (AB_x * AC_z - AB_z * AC_x)j + (AB_x * AC_y - AB_y * AC_x)k Подставляем координаты и вычисляем.

5. Нахождение объема пирамиды ABCD:

Объем пирамиды можно найти как одну треть объема параллелепипеда, основанием которого является треугольник ABC, а вершиной - точка D: V = (1/3) * S_ABC * h где S_ABC - площадь грани ABC, h - высота пирамиды, которая равна высоте треугольника ABC до вершины D.

6. Составление уравнения ребра AC:

Уравнение прямой в трехмерном пространстве можно записать в параметрической форме: x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct где (x0, y0, z0) - точка на прямой, (a, b, c) - направляющий вектор, t - параметр.

Для ребра AC: точка A(2, 1, 2) и направляющий вектор AC(-2, 0, 6).

7. Составление уравнения грани ABC:

Уравнение плоскости можно записать в виде: Ax + By + Cz + D = 0 где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, (x, y, z) - точка на плоскости, D - константа.

Для грани ABC: точка A(2, 1, 2) и нормальный вектор нормали к плоскости можно найти как векторное произведение AB и AC.