Question

Даны координаты вершин пирамиды ABCD : A(−4;2;−1) , B(0;6;− 3) , C(−2;13;−11) , D(−4;4;0) . Необходимо: 1. Записать векторы_____AB, _____AC , AD_____ в ортонормальной системе {i, j, k} и найти модули этих векторов. 2. Найти угол между векторами AB и AC . 3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB. 4. Вычислить площадь грани ABC . 5. Найти объем пирамиды ABCD .

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(−4;2;−1) , B(0;6;− 3) , C(−2;13;−11) , D(−4;4;0) .

Необходимо:

1. Записать векторы_____AB, _____AC , AD_____ в ортонормальной системе {i, j, k} и найти модули этих векторов.

Вектор АВ = (0-(-4); 6-2; -3-(-1)) = (4; 4; -2) = 4i + 4j - 2k.

|AB| = √((4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6.

Вектор BC = (-2-0; 13-6; -11-(-3)) = (-2; 7; -8) = -2i + 7j - 8k.

|BC| = √(((-2)² + 7² + (-8)²) = √(4 + 49 + 64) = √117 ≈ 10,81665.

Вектор АC = (-2-(-4); 13-2; -11-(-1)) = (2; 11; -10) = 2i + 11j - 10k.

|AC| = √√((2² + 11² + (-10)²) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15.

2. Найти угол между векторами AB и AC .

cos(AB_AC) = (4*2 + 4*11 + (-2)*(-10))/(6*15) = 72/90 = 4/5.

Угол равен arc cos(4/5) = 0,6435 радиан или 36,87 градуса.

3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB (4; 4; -2)

Точки A(−4;2;−1), D(−4;4;0). Вектор AD: (0; 2; 1).

Проекция b на a =  (a · b )/|b|

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + 1 · (-2) = 0 + 8 - 2 = 6

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6 .

Пр ba =  6/6 = 1.  

4. Вычислить площадь грани ABC .

Для этого надо найти векторное произведение векторов  АВ(4; 4; -2) и АС(2; 11; -10).

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.

 i        j       k|        i         j

4      4    -  2|        4        4

2     11     -10|        2       11   =   -40i - 4j + 44k + 40j + 22i - 8k =

                                           =   -18i + 36j + 36k = (-18; 36; 36).

Модуль равен √((-18)² + 36)² + 36²) = √2916   = 54.

Площадь S = (1/2)*54 = 27.

5. Найти объем пирамиды ABCD .

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

ABxAC    =    -18      36       36

      АD    =    0       2             1

(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(0 + 72 + 36)| = 108/6 = 18.

Answer 2

Давайте последовательно решим каждую из поставленных задач.

1. Запишем векторы AB, AC и AD в ортонормальной системе координат {i, j, k} и найдем их модули:

   Вектор AB = B - A = (0 - (-4), 6 - 2, -3 - (-1)) = (4, 4, -2) Модуль AB = √(4² + 4² + (-2)²) = √36 = 6

   Вектор AC = C - A = (-2 - (-4), 13 - 2, -11 - (-1)) = (2, 11, -10) Модуль AC = √(2² + 11² + (-10)²) = √165 = √(25 * 6) = 5√6

   Вектор AD = D - A = (-4 - (-4), 4 - 2, 0 - (-1)) = (0, 2, 1) Модуль AD = √(0² + 2² + 1²) = √5

2. Найдем угол между векторами AB и AC используя скалярное произведение:

   cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) AB · AC = 4 * 2 + 4 * 11 + (-2) * (-10) = 8 + 44 + 20 = 72 |AB| = 6, |AC| = 5√6

   cos(θ) = 72 / (6 * 5√6) = 2 / √6 θ = arccos(2 / √6)

3. Найдем проекцию вектора AD на вектор AB:

   Проекция AD на AB = (AD · AB) / |AB| AD · AB = 0 * 4 + 2 * 4 + 1 * (-2) = 0 + 8 - 2 = 6

   Проекция AD на AB = 6 / 6 = 1

4. Вычислим площадь грани ABC используя векторное произведение векторов AB и AC:

   Площадь ABC = 0.5 * |AB × AC| AB × AC = |i j k| |4 4 -2| |2 11 -10|

   AB × AC = (4 * (-10) - (-2) * 11)i + ((-2) * 2 - 4 * (-10))j + (4 * 11 - 2 * 2)k = -58i + 42j + 42k

   |AB × AC| = √((-58)² + 42² + 42²) = √(3364 + 1764 + 1764) = √6892 ≈ 83

   Площадь ABC = 0.5 * 83 = 41.5

5. Найдем объем пирамиды ABCD, который равен 1/3 площади основания ABC умноженной на высоту пирамиды от вершины D до плоскости ABC.

   Высота пирамиды h = |AD × AB| / |AB| AD × AB = |i j k| |0 2 1| |4 4 -2|

   AD × AB = (-2)i + (2 * (-2) - 1 * 4)j + (2 * 4 - 0 * (-2))k = -2i - 9j + 8k

   |AD × AB| = √((-2)² + (-9)² + 8²) = √(4 + 81 + 64) = √149

   h = √149 / 6

   Объем пирамиды V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 41.5 * (√149 / 6)

Таким образом, решив задачи, мы найдем значения векторов, угол между векторами, проекцию, площадь грани и объем пирамиды.