Question

Даны координаты точек. Требуется: 1) записать векторы AB, AC, AD в системе орт і, J, й н найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами АВ, АС; 3) найти проекцию вектора AD на вектор АВ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды ABCD. A (3;4; 3), B (1;7;3), C(1;4;9), D(3;7;11).

Answer 1

Ответ:

    $\bf A(3;4;3)\ ,\ B(1;7;3)\ ,\ \ C(1;4;9)\ ,\ \ D(3;7;11)$

1) Найдём координаты векторов АВ , АС , AD .

$\overline{AB}=(1-3;7-4;3-3)=(-2;3;0)\ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{\overline{AB}=-2\vec{i}+3\vec{j}+0\vec{k}=-2\vec{i}+3\vec{j}}\\\\\overline{AC}=(1-3;4-4;9-3)=(-2;0;6)\ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{\overline{AC}=-2\vec{i}+0\vec{j}+6\vec{k}=-2\vec{i}+6\vec{k}}\\\\\overline{AD}=(3-3;7-4;11-3)=(0;3;8)\ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{\overline{AD}=3\vec{j}+8\vec{k}}$

2) Угол между векторами АВ и АС .

$cos\varphi =\dfrac{\overline{AB}\cdot \overline{AC}}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{AC}|}=\dfrac{-2\cdot (-2)+3\cdot 0+0\cdot 6}{\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+0^2+6^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{40}}\\\\\\cos\varphi =\dfrac{2}{\sqrt{130}}\ \ ,\ \ \boldsymbol{\varphi =arccos\dfrac{2}{\sqrt{130}}}$  

3) Проекция вектора AD на вектор АВ .

$proekciya_{_{AB}}AD=\dfrac{\overline{AD}\cdot \overline{AB}}{|\overline{AB}|}=\dfrac{0\cdot (-2)+3\cdot 3+8\cdot 0}{\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}}=\bf \dfrac{9}{\sqrt{13}}$  

4) Площадь АВС . Сначала найдём векторное произведение векторов АВ на АС .

$[\, \overline{AB}\times \overline{AC}\, ]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-2&3&0\\-2&0&6\end{array}\right|=18\vec{i}+12\vec{j}+6\vec{k}\\\\|\, [\, \overline{AB}\times \overline{AC]\, }|=\sqrt{18^2+12^2+6^2}=\sqrt{504}=2\sqrt{126}\\\\S(\Delta \, ABC)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{126}=\bf \sqrt{126}$  

5) Объём пирамиды АВСD . Найдём смешанное произведение векторов АВ , АС и АD .

$(\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD})=\left|\begin{array}{ccc}-2&3&0\\-2&0&6\\0&3&8\end{array}\right|=-2\cdot (-18)-3\cdot (-16)=84\\\\V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}\cdot 84=\bf 14$