Question

даны координаты вершин пирамиды АВСD : А(-5;-1;8), В(2;3;1), С(4;1;-2), D(6;3;7). Найти: 1. Длину | вектор АВ|, 2. длину угла (вектор АВ, вектор АС) между векторами АВ и АС, 3. площадь АСD(площадь грани АСD), 4. Объем АВСD(объем пирамиды ), 5. уравнение стороны ВС, 6. уравнение грани АВD, 7.уравнение высоты СН к грани АВD

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды АВСD :

А(-5;-1;8), В(2;3;1), С(4;1;-2), D(6;3;7).

Найти: 1. Длину | вектор |АВ| = √((2-(-5))² + (3-(-1))² + (1-8)²) =

            √(49 + 16 + 49) = √114 ≈ 10,67708.  

2. Величину угла  между векторами АВ и АС.

Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.

Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147.

cos(AB_AC) = (7*9+4*2+(-7)*(-10))/(√114*√185) = 141/√21090 =  

             = 141/145,223965 ≈ 0,970914133 .

Угол равен arc cos (141/√21090) = 0,241777  радиан или 13,85278  градуса.

3. Площадь грани АСD,

Находим векторы АС и АD.

Вектор АC = (9; 2; -10) определён в п. 1. Модуль = √185 ≈ 13,60147.

Вектор АD = (11; 4; -1), √(121+16+1) = √138 ≈ 11,74734.

Площадь грани ACD равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AC*AD|.

 i        j       k|       i        j

9      2    -10|      9      2

11      4      -1|     11      4   =   -2i - 110j + 36k + 9j + 40i - 22k =

                                        =   38i - 101j + 14k = (38; -101; 14).

Модуль равен √(38² + (-101)² + 14²) = √11841  ≈ 108,8163591 .

Площадь S = (1/2)*√11841  = 54,40817953 .

4. Объем АВСD(объем пирамиды ).

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.

Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147. (см. п. 2).

i        j       k|       i        j

7      4      -7|       7      4

9      2     -10|     9      2   =   -40i - 63j + 14k + 70j +1 4i - 36k =

                                        =   -26i + 7j - 22k = (-26; 7; -22).

Модуль равен √((-26)² + 7² + (-22)²) = √1209  ≈ 34,7706773 .

5. Уравнение стороны ВС. Вектор ВС = (2; -2; -3).

(x - 2)/2 = (y - 3)/(-2) = (z - 1)/(-3).

6. Уравнение грани АВD по точкам А(-5;-1;8), В(2;3;1), D(6;3;7).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA          y - yA         z - zA

xB - xA         yB - yA         zB - zA

xC - xA         yC - yA          zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-5)       y - (-1)              z - 8

2 - (-5)       3 - (-1)      1 - 8

6 - (-5)       3 - (-1)       7 - 8

 = 0

x - (-5) y - (-1) z - 8

7 4 -7

11 4 -1

 = 0

x - (-5)  4·(-1)-(-7)·4  -  y - (-1)  7·(-1)-(-7)·11  +  z - 8  7·4-4·11  = 0

24 x - (-5)  + (-70) y - (-1)  + (-16) z - 8  = 0

24x - 70y - 16z + 178 = 0  или, сократив на 2

12x - 35y - 8z + 89 = 0 .

7.Уравнение высоты СН к грани АВD .

Нормальный вектор плоскости АВД принимаем из её уравнения:

АВД = (12; -35; -8).

Тогда уравнение высоты СН:

(x - 4)/12 = (y - 1)/(-35) = (z + 2)/(-8).

Answer 2

Давайте по порядку решим каждый из пунктов задачи:

1. Длина вектора AB: Длина вектора AB вычисляется по формуле: |AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B.

Для A(-5, -1, 8) и B(2, 3, 1): |AB| = √((2 - (-5))^2 + (3 - (-1))^2 + (1 - 8)^2) = √(49 + 16 + 49) = √114 ≈ 10.68.

2. Угол между векторами AB и AC: Угол между векторами можно вычислить используя скалярное произведение и формулу: cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|), где θ - угол между векторами.

Для A(-5, -1, 8), B(2, 3, 1) и C(4, 1, -2): AB = (2 - (-5), 3 - (-1), 1 - 8) = (7, 4, -7) AC = (4 - (-5), 1 - (-1), -2 - 8) = (9, 2, -10)

AB · AC = 7 * 9 + 4 * 2 + (-7) * (-10) = 63 + 8 + 70 = 141 |AB| = √114 (по предыдущему пункту) |AC| = √(9^2 + 2^2 + (-10)^2) = √185

cos(θ) = 141 / (10.68 * √185) ≈ 0.773 θ = arccos(0.773) ≈ 39.2°

3. Площадь грани ASD: Площадь треугольника можно вычислить используя формулу Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр треугольника, a, b и c - длины его сторон.

Для A(-5, -1, 8), S будет равна: AB = |AB| = √114 (по предыдущему пункту) AC = |AC| = √185 (по предыдущему пункту) AD = √((6 - (-5))^2 + (3 - (-1))^2 + (7 - 8)^2) = √231

p = (AB + AC + AD) / 2 = (10.68 + √185 + √231) / 2 S = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - AD))

4. Объем пирамиды ABCD: Объем пирамиды можно вычислить как одну треть объема параллелепипеда, который образуется на векторах AB, AC и AD. Таким образом, V = (1/3) * (AB × AC) · AD, где × обозначает векторное произведение.

AB × AC = |i j k | |7 4 -7| |9 2 -10|

AB × AC = (4 * (-10) - (-7) * 2, -7 * 9 - (-7) * (-10), 7 * 2 - 4 * 9) AB × AC = (-38, -49, -62)

V = (1/3) * |-38 -49 -62| · |6| |7 4 -7| |3| |9 2 -10| |7|

V = (1/3) * (-38 * 6 + (-49) * 3 + (-62) * 7) = -667

5. Уравнение стороны ВС: Для уравнения прямой можно использовать параметрическую формулу: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, где (x0, y0, z0) - точка на прямой, (a, b, c) - направляющий вектор, t - параметр.

Для В(2, 3, 1) и C(4, 1, -2): (a, b, c) = (4 - 2, 1 - 3, -2 - 1) = (2, -2, -3) (x0, y0, z0) = (2, 3, 1)

Уравнение стороны ВС: x = 2 + 2t, y = 3 - 2t, z = 1 - 3t

6. Уравнение грани АВD: Для уравнения плоскости можно использовать общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости.

Нормальный вектор можно найти как векторное произведение двух векторов в плоскости. Например, векторное произведение AB и AD (которые образуют плоскость ABD):

AB = (7, 4, -7) AD = (6 - (-5), 3 - (-1), 7 - 8) = (11, 4, -1)

Нормальный вектор: N = AB × AD Нормальный вектор: (AB × AD) = (4 * (-1) - (-7) * 4, -7 * 11 - (-7) * (-1), 7 * 4 - 4 * 11) Нормальный вектор: (25, -70, -25)

Теперь мы можем использовать координаты любой точки на плоскости (например, точку A) и