Question

4) В треугольнике ABC точка 0 - точка пересечення медиан AA), вв. СС1. Выразите вектор ову через BC BА.​

Answer 1

Ответ:

Пусть АК - медиана, тогда

по свойствам векторов

вектор АК=вектор АС+вектор СК

вектор АК=вектор АВ+вектор ВК

2*вектор АК=вектор АС+Вектор СК+вектор АВ+вектор ВК=вектор АС+вектор АВ

(так как векторы СК и ВК равны по модулю и противположные за направением)

вектор АК=1\2*(вектор АС+вектор АВ)

 

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины,

поэтому

вектор АО=2\3*вектор АК

вектор АО=2\3*1\2вектор(АС+АВ)=1\3*(a+b)

ответ: 1\3*(a+b)

Answer 2

Пусть точка $O$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $CC_1$ - медиана, проведенная из вершины $C$, а $A'$ - середина стороны $BC$.

Чтобы выразить вектор $\overrightarrow{OU}$ через $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$, где $U$ - произвольная точка, например, точка пересечения медиан $AA'$ (или просто некоторая точка), мы можем воспользоваться свойствами медиан треугольника.

Свойство медианы: Медиана треугольника делит другую сторону пополам.

Так как $O$ - точка пересечения медиан, она делит каждую из медиан пополам. Таким образом, вектор $\overrightarrow{OA'}$ является половиной вектора $\overrightarrow{OC_1}$.

Мы можем выразить $\overrightarrow{OC_1}$ как разность векторов $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC_1}$. Зная, что $\overrightarrow{OA'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OC_1}$, мы можем записать:

$$\frac{1}{2} \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC_1}$$

Отсюда выразим $\overrightarrow{BC_1}$:

$$\overrightarrow{BC_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OC_1} - \overrightarrow{OB}$$

Теперь мы можем выразить вектор $\overrightarrow{OU}$ через векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$:

$$\overrightarrow{OU} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{AU} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OC_1} + \overrightarrow{BA}$$

Подставляя выражение для $\overrightarrow{BC_1}$, получим:

$$\overrightarrow{OU} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{OC_1} - \overrightarrow{OB}\right) + \overrightarrow{BA}$$