Question

Вовочка собирается в поход. У него есть 4 пар(-ы) походных носков. Он может взять с собой сколько угодно пар носков (в том числе не брать их вообще), но если он возьмёт меньше 2-х пар, мама заставит его взять с собой одну из 2-х грелок для ног, которые есть дома. Сколько у Вовочки способов собраться в поход?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для начала научимся считать способы взять с собой сколько-нибудь пар носков. Первую пару носков можно выбрать шестью способами, потому что пар всего шесть, вторую пару носков — пятью способами, потому что после выбора первой пары пар осталось пять. Третью пару носков — четырьмя способами, и так далее. Однако Вовочке не важно, в каком порядке он берёт пары носков. Он может взять сначала первую, потом вторую, или сначала вторую, потом первую — и это будет один и тот же способ. Поэтому произведение, которое мы описали выше, надо разделить на количество способов переставить между собой взятые пары носков. Сколькими же способами их можно переставить? На первое место может встать одна из выбранных пар, на второе место — любая пара, кроме одной, что уже выбрана, на третье место — любая пара, кроме двух выбранных, и так далее. То есть, например, способов выбрать три пары носков из шести — 6⋅5⋅43⋅2⋅1.

Для удобства количество способов выбрать пары носков будем обозначать через C36: снизу общее количество пар носков, сверху — сколько мы выбираем.

Вернемся к поставленной задаче. Посчитаем способы взять с собой меньше, чем 2 пар(-ы) носков: их C04+C14, и это число нужно домножить на 3 — сколькими способами можно взять с собой грелку. К результату прибавим количество способов взять с собой хотя бы 2 пары носков: C24+C34+C44.

Получим: 3⋅(C04+C14)+C24+C34+C44=26

Answer 2

У Вовочки есть 4 пары походных носков. Чтобы определить количество способов собраться в поход, рассмотрим все возможные случаи:

1. Вовочка не берет ни одну пару носков: в этом случае ему необходимо взять одну из 2-х грелок для ног. Таких способов - 2.

2. Вовочка берет только одну пару носков: он выбирает одну пару из доступных 4 пар. Таких способов - 4.

3. Вовочка берет две пары носков: он выбирает две пары из доступных 4 пар. Поскольку порядок выбора пар носков не имеет значения, это сочетание. Используем формулу сочетаний: C(4, 2) = 6.

4. Вовочка берет три пары носков: он выбирает три пары из доступных 4 пар. Сочетание трех пар из четырех: C(4, 3) = 4.

5. Вовочка берет все четыре пары носков: есть только один способ выбрать все четыре пары.

Итого, количество способов собраться в поход для Вовочки составляет 2 + 4 + 6 + 4 + 1 = 17 способов.