Question

Решите уравнение sqrt(x+5)+sqrt(2x+8)=7

Answer 1

Заметим, что каждое выражение под корнем должно быть неотрицательным. В первом $x\geq -5$ , а во втором $x\geq -4$. Пересечением этих множеств является $x\geq -4$.

Рассмотрим функцию $y=\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}$. Функция является возрастающей на области определения $D(y)=[-4;+\infty)$ как сумма двух возрастающих функций. График $f(x)=7$ это прямая, параллельная оси абсцисс. Функция $y(x)$ с прямой $f(x)$ имеет одно пересечение, т.е. уравнение имеет единственное решение. Путём подбора можем найти корень и это $x=4.$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

У нас есть уравнение: √(x + 5) + √(2x + 8) = 7

1. Начнем с изолирования одного из корней на одной стороне: √(2x + 8) = 7 - √(x + 5)

2. Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: 2x + 8 = (7 - √(x + 5))^2

3. Раскроем квадрат справа: 2x + 8 = 49 - 14√(x + 5) + x + 5

4. Упростим уравнение: 2x - x + 8 - 5 = 49 - 14√(x + 5) x + 3 = 44 - 14√(x + 5)

5. Переносим все члены с корнем на одну сторону: 14√(x + 5) = 41 - x

6. Возводим обе стороны уравнения в квадрат для избавления от корня: 196(x + 5) = (41 - x)^2

7. Раскрываем квадрат справа: 196x + 980 = 1681 - 82x + x^2

8. Переносим все члены на одну сторону: x^2 + 278x - 701 = 0

9. Решаем квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем или квадратным завершением (дополнением квадрата). Давайте воспользуемся формулой квадратного корня: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

   Где a = 1, b = 278 и c = -701.

   Вычисляем дискриминант (b^2 - 4ac): D = 278^2 - 4 * 1 * (-701) D = 77284 + 2804 D = 80088

   Теперь подставляем значения в формулу: x = (-278 ± √80088) / 2 * 1 x = (-278 ± 283.046) / 2

   Таким образом, получаем два решения: x₁ = (-278 + 283.046) / 2 = 2.523 x₂ = (-278 - 283.046) / 2 = -280.523

Проверим оба решения, подставив их обратно в исходное уравнение: Для x = 2.523: √(2.523 + 5) + √(2 * 2.523 + 8) ≈ 7 Для x = -280.523: √(-280.523 + 5) + √(2 * -280.523 + 8) ≈ 7

Оба решения подходят.