Question

Lim x -> бесконечность ((x^2-1)/(x^2+1))^((x-1)/(x+1)) через формулу lim f (x)^g(x)=e^lim g(x) ln f(x)

Answer 1

$\lim_{x \to \infty }( \frac{ {x}^{2} - 1}{ {x}^{2} + 1} ) {}^{ \frac{x - 1}{x + 1} } =\lim_{x \to \infty } {e}^{ ln(( \frac{ {x}^{2} - 1}{ {x}^{2} + 1} ) {}^{ \frac{x - 1}{x + 1} } ) } = {e}^{ \lim_{x \to \infty } \frac{x - 1}{x + 1} ln( \frac{ {x}^{2} - 1}{ {x}^{2} + 1} ) } = {e}^{ \lim_{x \to \infty }( \frac{x - 1}{x + 1}) \lim_{x \to \infty }( ln( \frac{ {x}^{2} - 1 }{ {x}^{2} + 1} ) )}$

Вычислим пределы по-отдельности:

$\lim_{x \to \infty } \frac{x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to \infty } \frac{x(1 - \frac{1}{x} )}{x(1 + \frac{1}{x}) } = \lim_{x \to \infty } = \frac{1 - \frac{1}{x} }{1 + \frac{1}{x} } = \frac{1 - \frac{1}{ \infty } }{1 + \frac{1}{ \infty } } = 1$

$\lim_{x \to \infty } ln( \frac{ {x}^{2} - 1 }{ {x}^{2} + 1 } ) = ln( \lim_{x \to \infty } \frac{ {x}^{2} - 1}{ {x}^{2} + 1} ) = ln( \lim_{x \to \infty } \frac{ {x}^{2}(1 - \frac{1}{ {x}^{2} } ) }{ {x}^{2}(1 + \frac{1}{ {x}^{2} } )} ) = ln( \lim_{x \to \infty } \frac{1 - \frac{1}{ {x}^{2} } }{1 + \frac{1}{ {x}^{2} } } ) = ln( \frac{1 - \frac{1}{ \infty } }{1 + \frac{1}{ \infty } } ) = ln(1) = 0$

Собираем:

$\lim_{x \to \infty }( \frac{ {x}^{2} - 1}{ {x}^{2} + 1} ) {}^{ \frac{x - 1}{x + 1} } = {e}^{1 \times 0} = {e}^{0} = 1$

Ответ: 1

Answer 2

Для нахождения предела lim x -> бесконечность ((x^2-1)/(x^2+1))^((x-1)/(x+1)) с использованием формулы lim f(x)^g(x) = e^(lim g(x) ln f(x)), сначала нам понадобится найти отдельные пределы внутри формулы.

Пусть f(x) = (x^2-1)/(x^2+1) и g(x) = (x-1)/(x+1). Тогда мы можем записать исходное выражение в виде f(x)^g(x).

1. Найдем предел g(x) при x -> бесконечность: lim x -> бесконечность (x-1)/(x+1)

Мы можем упростить эту функцию, поделив каждый член на x: lim x -> бесконечность (1 - 1/x)/(1 + 1/x)

При x -> бесконечность, оба члена 1/x стремятся к нулю. Таким образом, получаем: lim x -> бесконечность (1 - 0)/(1 + 0) = 1

2. Найдем предел ln f(x) при x -> бесконечность: lim x -> бесконечность ln((x^2-1)/(x^2+1))

Аналогично, упростим функцию, применив правило логарифма разности: ln((x^2-1)/(x^2+1)) = ln(x^2-1) - ln(x^2+1)

Предельное значение ln(x^2-1) и ln(x^2+1) при x -> бесконечность можно найти, используя свойство натурального логарифма. Мы знаем, что ln(x) растет медленнее, чем x, поэтому пределы будут равны бесконечности: lim x -> бесконечность ln(x^2-1) = lim x -> бесконечность ln(x^2+1) = бесконечность

Теперь мы можем использовать формулу lim f(x)^g(x) = e^(lim g(x) ln f(x)):

lim x -> бесконечность ((x^2-1)/(x^2+1))^((x-1)/(x+1)) = e^(lim x -> бесконечность (x-1)/(x+1) * lim x -> бесконечность ln((x^2-1)/(x^2+1)))

Мы уже вычислили предел g(x) и ln f(x): = e^(1 * бесконечность) = e^бесконечность = бесконечность

Таким образом, предел исходного выражения при x -> бесконечность равен бесконечности.