Question

Имеется дробь 1/n. Восьмиклассник Вася каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Васяутверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоитли ему верить?​

Answer 1

Ответ:

Нет, не стоит.

Пошаговое объяснение:

Нет, не стоит. Через x минут дробь 1/n превратится в дробь (1+x)/(n+x). Чтобы   эта дробь оказалась сократимой, нужно, чтобы её числитель делился на какой-нибудь  делитель числа n-1.  По условию через 1000 минут получится сократимая дробь  1001/(n+1000). Значит, n-1 делится на какой-то делитель числа 1001. Тогда n-1 делится на

один из простых делителей p=7, 11, 13. Тогда уже через p-1 шаг дробь окажется   сократимой.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте проанализируем, как изменяется дробь после каждого шага.

Изначально у нас есть дробь 1/n, где n - некоторое натуральное число.

После первого шага Вася прибавляет 1 к числителю и знаменателю, и получается дробь (1+1)/(n+1) = 2/(n+1). Эта дробь является несократимой, так как 2 и (n+1) не имеют общих делителей, кроме 1.

После второго шага Вася прибавляет снова 1 к числителю и знаменателю, и получается дробь (2+1)/(n+1+1) = 3/(n+2). Эта дробь также является несократимой.

Мы можем продолжать этот процесс, и после k-го шага получится дробь (k+1)/(n+k), которая также будет несократимой.

Теперь давайте посмотрим на задание и условие, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Это означает, что мы должны найти такое значение k, при котором (k+1) и (n+k) имеют общие делители, кроме 1.

Однако, независимо от значения n, (k+1) и (n+k) не имеют общих делителей, кроме 1, для любого натурального числа k. Таким образом, не существует такого значения k, при котором дробь становится сократимой.

Следовательно, утверждение Васи не верно. Он неправильно сказал, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов.