Question

Комплексное число изобразить вектором определить его модуль и аргумент. записать все формы записи комплексного числа. z=16-16√3i

Answer 1

По условию:

$z = 16 - 16\sqrt{3}\cdot i$

Найдем модуль и аргумент комплексного числа:

$|z|=\sqrt{16^2+(16\sqrt{3} )^2} =\sqrt{16^2\cdot 4} =32\\\\arg\, z = arctg(\frac{-16\sqrt{3}}{16})=arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$

Тогда экспоненциальная запись числа:

$z=|z|\cdot e^{i\cdot arg\,z}\\\\z=32\cdot e^{-i\frac{\pi}{3} }$

К тригонометрической записи числа можно перейти с помощью формулы Эйлера:

$e^{i\cdot arg\,z}=cos(arg\,z)+i\cdot sin(arg\,z)\\\\z=32\cdot e^{-i\cdot \frac{\pi}{3} }=32\cdot \bigg(cos(-\frac{\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{\pi}{3} ) \bigg)$

Таким образом, имеем 3 записи числа:

1) Алгебраическая форма:

$z = 16 - 16\sqrt{3}\cdot i$

2) Показательная форма:

$z=32\cdot e^{-i\cdot \frac{\pi}{3} }$

3) Тригонометрическая форма:

$z=32\cdot \bigg(cos(-\frac{\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{\pi}{3} ) \bigg)$

Answer 2

Комплексное число можно представить как точку на комплексной плоскости, где вектор указывает на эту точку из начала координат (0, 0). Модуль комплексного числа представляет собой длину этого вектора, а аргумент - угол между вектором и положительным направлением действительной оси.

Для комплексного числа $z = 16 - 16\sqrt{3}i$:

1. Изобразим его на комплексной плоскости:

   

   В данном случае, действительная часть равна 16, а мнимая часть -16√3. Оно лежит в третьем квадранте (мнимая часть отрицательна), и его длина (модуль) равна $\sqrt{16^2 + (-16\sqrt{3})^2} = 32$.

2. Вычислим аргумент:

   $\text{Аргумент} = \arctan\left(\frac{\text{мнимая часть}}{\text{действительная часть}}\right) = \arctan\left(\frac{-16\sqrt{3}}{16}\right) = -\frac{\pi}{3}$

3. Формы записи комплексного числа:

   • Алгебраическая форма: $z = 16 - 16\sqrt{3}i$
   • Модуль-аргументная форма: $z = 32 \cdot \text{cis}(-\frac{\pi}{3})$ (где $\text{cis}$ - функция, возвращающая комплексное число по модулю и аргументу)
   • Тригонометрическая форма: $z = 32 \cdot (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \cdot \sin(-\frac{\pi}{3}))$
   • Эйлерова форма: $z = 32 \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}}$ (где $e$ - основание натурального логарифма)

Итак, комплексное число $z = 16 - 16\sqrt{3}i$ изображается вектором на комплексной плоскости, его модуль равен 32, а аргумент - $-\frac{\pi}{3}$.