Question

Помогите решить уравнение у'+y/x=xe^(x/2)​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода вариации постоянной. Прежде чем начать, перепишем уравнение в стандартной форме:

у' + y/x = x * e^(x/2).

Сначала решим соответствующее однородное уравнение:

у' + y/x = 0.

Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами, и его общее решение имеет вид:

y_общ(x) = C * x,

где C - произвольная постоянная.

Теперь перейдем к методу вариации постоянной. Предположим, что общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y(x) = u(x) * x,

где u(x) - функция, которую нужно найти.

Подставим это предположение в исходное уравнение:

(u' * x + u) + u * x/x = x * e^(x/2).

Упростим:

u' * x + u + u = x * e^(x/2), u' * x + 2u = x * e^(x/2).

Теперь решим уравнение для функции u(x):

u' * x = x * e^(x/2), u' = e^(x/2).

Проинтегрируем обе стороны:

∫u' dx = ∫e^(x/2) dx, u = 2 * e^(x/2) + C_1,

где C_1 - постоянная интегрирования.

Таким образом, решение для u(x):

u(x) = 2 * e^(x/2) + C_1.

Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения:

y(x) = u(x) * x = (2 * e^(x/2) + C_1) * x.

Это и есть окончательное решение данного дифференциального уравнения.