Question

Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=x^3+3x^2+1​

Answer 1

Ответ:

F(x) = 1/3 * (3х-2)^4 / 4 =

= (3х-2)^4 / 12

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$, нам нужно проинтегрировать каждый член по отдельности. Первообразная каждого члена будет иметь вид $\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$, где $n$ - это показатель степени, а $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, интегрируем каждый член по отдельности:

1. Интегрируем $x^3$: $\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4 + C_1$

2. Интегрируем $3x^2$: $\int 3x^2 \, dx = x^3 + C_2$

3. Интегрируем константу $1$: $\int 1 \, dx = x + C_3$

Теперь объединим все части: $\int (x^3 + 3x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x + C$,

где $C = C_1 + C_2 + C_3$ - общая постоянная интегрирования.

Итак, общий вид первообразной для функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$ равен: $\int f(x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.