Question

Садовник должен посадить 10 кустов роз за три дня. Сколькими способами он может распределить по дням свою работу, если будет высаживать не менее одного куста в день?

Answer 1

Переформулируем задачу следующим образом. Пусть один куст однозначно высаживается в первый день, один - во второй день, и один - в третий день.

Тогда, останется 7 кустов, которые распределить можно без каких-либо ограничений.

Для каждого из 7 кустов нам необходимо сделать выбор: в который из дней мы будем его высаживать: в первый, во второй или в третий. Повторения этих выборов допустимы (более того, в данном случае они гарантированно произойдут), порядок значения не имеет.

Значит, нам нужно вычислить такую конфигурацию, как число сочетаний с повторениями из 3 по 7.

$\overline{C_3^7}=C_{3+7-1}^7=C_9^7=C_9^{9-7}=C_9^2=\dfrac{9!}{2!\cdot(9-2)!}=\dfrac{9\cdot8}{2} =36$

Ответ: 36 способов

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. Садовник должен посадить 10 кустов роз за три дня, при условии, что он будет высаживать не менее одного куста в день.

Давайте рассмотрим все возможные варианты распределения кустов по дням. Поскольку он высаживает не менее одного куста в день, мы можем использовать метод "разделение и выборка":

1. День 1: 1 куст, День 2: 1 куст, День 3: 8 кустов.
2. День 1: 1 куст, День 2: 2 куста, День 3: 7 кустов.
3. День 1: 1 куст, День 2: 3 куста, День 3: 6 кустов.
4. День 1: 1 куст, День 2: 4 куста, День 3: 5 кустов.
5. День 1: 1 куст, День 2: 5 кустов, День 3: 4 куста.
6. День 1: 1 куст, День 2: 6 кустов, День 3: 3 куста.
7. День 1: 1 куст, День 2: 7 кустов, День 3: 2 куста.
8. День 1: 1 куст, День 2: 8 кустов, День 3: 1 куст.
9. День 1: 2 куста, День 2: 1 куст, День 3: 7 кустов.
10. День 1: 2 куста, День 2: 2 куста, День 3: 6 кустов.
11. День 1: 2 куста, День 2: 3 куста, День 3: 5 кустов.
12. День 1: 2 куста, День 2: 4 куста, День 3: 4 куста.
13. День 1: 2 куста, День 2: 5 кустов, День 3: 3 куста.
14. День 1: 2 куста, День 2: 6 кустов, День 3: 2 куста.
15. День 1: 2 куста, День 2: 7 кустов, День 3: 1 куст.
16. День 1: 3 куста, День 2: 1 куст, День 3: 6 кустов.
17. День 1: 3 куста, День 2: 2 куста, День 3: 5 кустов.
18. День 1: 3 куста, День 2: 3 куста, День 3: 4 куста.
19. День 1: 3 куста, День 2: 4 куста, День 3: 3 куста.
20. День 1: 3 куста, День 2: 5 кустов, День 3: 2 куста.
21. День 1: 3 куста, День 2: 6 кустов, День 3: 1 куст. ... и так далее.

Подсчитаем количество таких вариантов распределения:

В данной задаче, это можно рассматривать как задачу размещения с повторениями (разбиение 10 кустов на 3 дня, где порядок имеет значение).

Используем формулу для количества размещений с повторениями: $n! / (n_1! * n_2! * ... * n_k!)$

Где:

• $n$ - общее количество объектов (10 кустов)
• $n_1, n_2, ... n_k$ - количество объектов в каждой категории (каждый день)

В данном случае, $n = 10$ и $n_1 = n_2 = n_3 = 3$ (по 3 дня).

Таким образом, количество способов будет: $10! / (3! * 3! * 3!) = 120 / 27 = 4.44$

Следовательно, существует около 4.44 способов распределить по дням работу садовника. Поскольку нельзя иметь доли способов, ответ округляется до целого числа. Таким образом, садовнику доступно 4 способа распределения работы по дням.