Question

Тригонометрия, помогите пожалуйста, найти значение: tg a, если cos a = -√5/3, a e (π, 3π/2)​

Answer 1

Ответ:

$\tg \alpha = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } = \frac{ \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha } }{ \cos \alpha } = \\ = \sqrt{ \frac{1 - \cos ^{2} \alpha }{ \cos^{2} \alpha } } = \sqrt{ \frac{1}{ \cos^{2} \alpha } - 1}$

$\tg \alpha = \sqrt{ \frac{1}{ ( - \frac{ \sqrt{5} }{3} )^{2} } - 1 } = \sqrt{ \frac{1}{ \frac{5}{9} } - 1} = \\ = \sqrt{ \frac{9}{5} - 1 } = \sqrt{ \frac{4}{5} } = \frac{2}{ \sqrt{5} } = \frac{2 \sqrt{5} }{5}$

Answer 2

Для нахождения значения тангенса угла a, когда известно значение косинуса a, можно воспользоваться тригонометрической тождественностью:

$\tan^2(a) = \sec^2(a) - 1$

Здесь $\sec(a)$ - это секанс a, и его можно найти по формуле: $\sec(a) = \frac{1}{\cos(a)}$.

Известно, что $\cos(a) = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, следовательно, $\sec(a) = \frac{1}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{5}}$.

Теперь мы можем найти $\tan(a)$:

$\tan^2(a) = \left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 - 1 = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$\tan(a) = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Угол a находится во втором квадранте (так как $a \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$), и во втором квадранте тангенс отрицателен. Поэтому:

$\tan(a) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Итак, $\tan(a) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.