Question

Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при 1000 выстрелах цель будет поражена : 1) ровно 400 раз; 2) от100 до 400 раз.

Answer 1

Ответ:

1) 1.66*10⁻³⁸

2) 0

Пошаговое объяснение:

p=0.6; q=1-p=0.4; n=1000

npq=0.6*0.4*1000=240

1) k=400

Локальная формула Муавра - Лапласа:

$P_n(k)\approx\frac{1}{\sqrt{npq}}*\varphi(x), \ x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}, \ \varphi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} *e^{-\frac{x^2}{2}}$

$x=\frac{400-1000*0.6}{\sqrt{240}}= -12,91\\ \\ \varphi(-12.91)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} *e^{-\frac{(-12.91)^2}{2}} =2.57*10^{-37} \\ \\ P_{1000}(400)\approx \frac{1}{\sqrt{240}}*2.57*10^{-37}= 1.66*10^{-38}$

2) k₁=100; k₂=400

Интегральная формула Муавра-Лапласа:

$P_n(k_1\leq k\leq k_2)=\Phi(x_2)-\Phi(x_1), \ x_2=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}, \ x_1=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}$

$x_2=\frac{400-1000*0,6}{\sqrt{240}}=-12,91 \\ \\ x_1=\frac{100-1000*0,6}{\sqrt{240}}=-32,27$

Ф(x) находим по таблице Лапласа.

Если x>5, то Ф(x)=0.5

$P_{1000}(100\leq k\leq 400)=\Phi(-12.91)-\Phi(-32.27)=-\Phi(12.91)+\Phi(32.27)= \\ \\ =-0.5+0.5=0$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (выстрелов), каждое из которых имеет два исхода (поражение цели или нет) с постоянной вероятностью успеха (поражения цели) равной 0,6.

Давайте рассмотрим оба случая:

1. Вероятность поражения цели при одном выстреле: $p = 0.6$ Количество выстрелов: $n = 1000$ Количество раз, которое цель должна быть поражена: $k = 400$

   Вероятность получить ровно 400 поражений при 1000 выстрелах можно рассчитать по формуле биномиального распределения:

   $P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

   Где $C(n, k)$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n - k)!}$.

   Подставив значения:

   $P(X = 400) = C(1000, 400) \cdot 0.6^{400} \cdot 0.4^{600}$

2. Для вероятности от 100 до 400 поражений, нам нужно сложить вероятности для $k = 100, 101, ..., 399, 400$:

   $P(100 \leq X \leq 400) = \sum_{k=100}^{400} C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

Пожалуйста, обратите внимание, что эти расчеты могут быть сложными вручную из-за больших значений $n$ и $k$. Вы можете воспользоваться калькулятором или программой для численных расчетов.