Question

Y'''+16y''=0 помогите найти общее решение

Answer 1

$y'''+16y''=0\\\\k^3+16k^2=0\ \ ,\ \ k^2\, (k+16)=0\ \ ,\ \ k_1=k_2=0\ ,\ k_3=-16\\\\y_{oo}=e^{0\cdot x}\, (C_1+C_2x)+C_3e^{-16x}\\\\y_{oo}=C_1+C_2x+C_3e^{-16x}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение третьего порядка является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения можно представить в виде комбинации экспоненциальных функций.

Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения:

$$r^3 + 16r = 0.$$

Решим это уравнение, найдя его корни (по методу подбора или используя формулы Виета). Корни данного уравнения: $r_1 = 0$, $r_2 = 4i$, $r_3 = -4i$.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом:

$$y(t) = C_1 e^{0 \cdot t} + C_2 e^{4i \cdot t} + C_3 e^{-4i \cdot t},$$

где $C_1$, $C_2$, $C_3$ - произвольные константы, $i$ - мнимая единица.

Так как корни являются комплексными, то можно воспользоваться формулой Эйлера для комплексных экспонент:

$$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x).$$

Таким образом, можно переписать общее решение в виде:

$$y(t) = C_1 + C_2 (\cos(4t) + i \sin(4t)) + C_3 (\cos(-4t) + i \sin(-4t)),$$

и далее упростить:

$$y(t) = (C_1 + C_2 \cos(4t) + C_3 \cos(-4t)) + i (C_2 \sin(4t) - C_3 \sin(-4t)).$$

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет комплексную форму и зависит от трех произвольных констант $C_1$, $C_2$ и $C_3$.