Question

Найти производную n-го порядка y(x) =en(x+1)

Answer 1

Ответ:

Посмотри картинку

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения n-ой производной функции $y(x) = e^n(x+1)$ нужно n раз продифференцировать выражение. Обозначим производную функции $y(x)$ как $y^{(n)}(x)$. Производная экспоненты $e^u$ по переменной $u$ равна самой экспоненте, умноженной на производную $u$ по переменной $x$, то есть $\frac{d}{dx} e^u = e^u \frac{du}{dx}$.

Для нашей функции $y(x) = e^n(x+1)$ функция $u$ равна $n(x+1)$, а $u$ не зависит от $x$, так как $n$ является константой. Поэтому первая производная будет:

$y'(x) = \frac{d}{dx} e^n(x+1) = n e^n.$

Каждая следующая производная будет также равна $n$ умножить на предыдущую производную:

$y''(x) = \frac{d^2}{dx^2} e^n(x+1) = \frac{d}{dx} (n e^n) = n^2 e^n,$ $y'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} e^n(x+1) = \frac{d}{dx} (n^2 e^n) = n^3 e^n,$ и так далее.

Таким образом, n-ая производная будет:

$y^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} e^n(x+1) = n^n e^n.$