Question

Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?​

Answer 1

Формула Байеса

Р ( 2 | Ч ) = Р ( Ч | 2 ) * Р ( 2 ) / Р ( Ч ) = 0.4 * 0.5 / ( 0.4*0.5 + 0.3*0.5) = 4 / 7

Answer 2

Давайте введем следующие обозначения:

• Урна A содержит 7 белых и 3 черных шара.
• Урна B содержит 6 белых и 4 черных шара.
• Событие "Ч" означает, что был выбран черный шар.

Мы хотим найти вероятность того, что шар был из второй урны (B), при условии, что он оказался черным (Ч). Это можно записать с помощью формулы условной вероятности:

$P(B|Ч) = \frac{P(B \cap Ч)}{P(Ч)}$

Где:

• $P(B|Ч)$ - вероятность того, что шар был из урны B, при условии, что он черный.
• $P(B \cap Ч)$ - вероятность выбрать урну B и извлечь из нее черный шар.
• $P(Ч)$ - вероятность выбрать черный шар независимо от того, из какой урны он взят.

$P(B \cap Ч)$ можно вычислить как произведение вероятности выбрать урну B и вероятности извлечь из нее черный шар:

$P(B \cap Ч) = P(B) \cdot P(Ч|B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{10} = \frac{2}{10}$

$P(Ч)$ можно вычислить как сумму вероятности извлечь черный шар из урны A и вероятности извлечь черный шар из урны B:

$P(Ч) = P(Ч|A) \cdot P(A) + P(Ч|B) \cdot P(B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{20}$

Теперь мы можем найти вероятность $P(B|Ч)$:

$P(B|Ч) = \frac{P(B \cap Ч)}{P(Ч)} = \frac{\frac{2}{10}}{\frac{7}{20}} = \frac{4}{7}$

Итак, вероятность того, что черный шар был из урны B, составляет $\frac{4}{7}$, или примерно 0.5714 (округленно до четырех знаков после запятой).