Question

Провести полное исследование функции:y = 1 / x * lnx​

Answer 1

1. Функция

$y=\dfrac{1}{x\cdot\ln x}$

2. Область определения

$x>0, \ln x\neq0\Leftrightarrow\mathbb D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)$

3. Область значений

$\mathbb E(y)=(-\infty;-e)\cup(0;+\infty)$

4. Нули

$y=0\Leftrightarrow \dfrac1{x\cdot\ln x}=0\Leftrightarrow 1=0\Leftrightarrow x\in \o$

5. Разрывы

$\displaystyle x=1\\ \lim_{x\to1+0}=\dfrac{1}{x\cdot\lnx}=+\dfrac1{1\cdot0}=+\infty\\\lim_{x\to1-0}=\dfrac{1}{x\cdot\lnx}=-\dfrac1{1\cdot0}=-\infty$

разрыв второго рода

6. Асимптоты

вертикальные:

$\displaystyle x=0\\\lim_{x\to0}\dfrac1{x\cdot \ln x}=\dfrac1{0\cdot-\infty}=\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac1x}{\ln x}=\lim_{x\to0}\dfrac{-\dfrac1{x^2}}{\dfrac1x}=-\lim_{x\to0}\dfrac1x=-\infty\\\\x=1\\\lim_{x\to1}\dfrac1{x\cdot\ln x}=\dfrac1{1\cdot0}=\infty$

горизонтальные:

$y=kx+b\\\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac {~~\dfrac1{x\cdot\ln x}~~}x=\dfrac1{+\infty}=0\\b=\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x\cdot\ln x}-kx=\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x\cdot\ln x}=\dfrac1{+\infty}=0\\y=0\cdot x+0=0\\\\y=0$

7. Экстремумы

$y'=\bigg(\dfrac1{x\cdot\ln x}\bigg)'=-\dfrac{1+\ln x}{x^2\cdot\ln^2 x}$

$y'=0\Leftrightarrow -\dfrac{1+\ln x}{x^2\cdot\ln^2 x}=0\Leftrightarrow1+\ln x=0\Leftrightarrow\ln x=-1\Leftrightarrow x=e^{-1}\Leftrightarrow x=\dfrac1e$

$y(\dfrac1e)=\dfrac1{\dfrac1e\cdot\ln\dfrac1e}=e\cdot(-1)=-e$

$y(\dfrac1e)=e$

8. Промежутки возрастания - убывания

$y\uparrow\Leftrightarrow x\in(0;-\dfrac1e)\\y\downarrow\Leftrightarrow x\in(\dfrac1e;1)\cup(1;+\infty)$

9. Точки перегиба и выпуклость функции вверх - вниз

$y''=(y')'=\bigg(-\dfrac{1+\ln x}{x^2\cdot\ln^2 x}\bigg)'=\dfrac{2\ln^2x+3\ln x+2}{x^3\cdot\ln ^3x}$

$y''=0\Leftrightarrow \dfrac{2\ln^2x+3\ln x+2}{x^3\cdot\ln ^3x}=0\Leftrightarrow2\ln^2x+3\ln x+2=0\Leftrightarrow\ln x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot2}}{2\cdot2}\Leftrightarrow\ln x=\dfrac{-3\pm\sqrt{-7}}{4}\notin \mathbb R$

$x=0, x=1, ~~~ y''(0)$  не определена (делим на 0)

расставим знаки второй производной:

               -               0              -                    1          +

----------------------------|-------------------------------|---------------------

(не определена)      (выпуклая вверх)        (выпуклая вниз)

Точек перегиба нет, при $x\in(0;1)$ выпуклая вверх, при $x\in(1;+\infty)$ выпуклая вниз

10. Четность - нечетность

общего вида

11. График

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам провести исследование функции $y = \frac{1}{x} \cdot \ln(x)$. Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Функция имеет два основных компонента: $\frac{1}{x}$ и $\ln(x)$. Для более глубокого понимания, давайте рассмотрим каждую из них по отдельности, а затем объединим их.

1. Компонент $\frac{1}{x}$:

Поскольку $x$ принимает значения от 0 до $+\infty$ (при условии, что $x > 0$), мы можем проанализировать поведение функции $\frac{1}{x}$:

• При $x \to 0^+$ (т.е. $x$ приближается к 0 справа), $\frac{1}{x}$ стремится к $+\infty$.
• При $x \to +\infty$, $\frac{1}{x}$ стремится к 0.

2. Компонент $\ln(x)$:

Функция натурального логарифма $\ln(x)$ также имеет свои интересные свойства:

• $\ln(1) = 0$
• $\ln(x)$ растет медленно для маленьких положительных значений $x$ и стремится к $+\infty$ при $x \to +\infty$.

3. Исследование функции $y = \frac{1}{x} \cdot \ln(x)$:

Теперь объединим оба компонента и проанализируем поведение функции $y = \frac{1}{x} \cdot \ln(x)$:

• При $x \to 0^+$, $\frac{1}{x} \cdot \ln(x)$ будет стремиться к $+\infty$, так как и $\frac{1}{x}$, и $\ln(x)$ будут стремиться к бесконечности, но $\ln(x)$ будет увеличиваться медленно.
• При $x \to +\infty$, $\frac{1}{x} \cdot \ln(x)$ будет стремиться к 0, так как и $\frac{1}{x}$, и $\ln(x)$ стремятся к 0 и бесконечности соответственно.

Таким образом, функция $y = \frac{1}{x} \cdot \ln(x)$ имеет асимптоты: вертикальную асимптоту $x = 0$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$.

Чтобы получить более полное представление о поведении функции, также можно построить график. Так как график может помочь лучше понять функцию, я рекомендую использовать математическое программное обеспечение или онлайн-инструменты для построения графиков, чтобы визуализировать это исследование.